Hj. Mellin. 



stens nach Multiplikation mit e ~ ^ ' " ' diese Eigenschaft bekommt, wie Mein auch 

 die positive ZaJd e angenommen werden mag. Unter diesen Voraussetzungen 

 zeigt sich leicht, dass I{x;x) in jedem endlichen Theile des diu'ch die Un- 



gleichheiten 



(3) — ,» + 2é£0<; + '^ — 2« 



detinirten Bereiches von œ = | a; | e'^ gleichmässig convergiit und zugleich die 

 folgende fundamentale Ungleichheit erfüllt 



(i) \I{x;x)\<Cix,s)\x\'', 



wo C eine nur von k und f abhängige Constante liedeutet. 

 Ein einfaches Beispiel hiervon bildet das Integral 



x+ioo 



2m 



1 f !f X^ -, 



-^ I -■ dz , 



sri J sm^z z 



M — 100 



bei welchem 0- = :r ist und v. keine gan^e Zahl sein darf. Der Convergenzbereich 

 dieses Integrals ist also — :t' < < + :r, d. h. die ganze x-Ebene mit Aus- 

 schluss der negativen Hälfte der reellen Axe. Der Werth des Integrals ist im 

 allgemeinen von % abhängig ; insbesondere hat man füi" o < % < 1 : 



K -I- i CO 



(5) log (1 + x) = } : \ -^ ~dz, < X < 1. 



K — 100 



Diese Formel ergiebt sich, indem ma)i den Integrationsweg z. B. in der posi- 

 tiven Richtung der reellen Axe ohne Ende verschiebt und die zu den passii'ten 

 Polen des Integranden gehörigen Residuen summirt. Dabei nähert sich das 

 Integral für- ]x] < i der Grenze Null, während zugleich auf der rechten Seite 

 die ReihenentAvicklung von log (i -f- x) erscheint. 



Wird der Integrationsweg in positiver Richtung so weit verschoben, dass 

 X einen zwischen den ganzen Zahlen j; -|- i und p -\- 2 gelegenen Werth 

 erhält, so folgt aus (5) 



" ■«-!-! 00 



dz, 



\ j ö V T / -r _^ \ j ^ V ' 2^ + 1 ^ 2m J sm sr 



A = 1 H ~ >• 00 



!)-{- i<x<2} + 2. 



T. XXIX. 



