6 Hj. Mellin. 



In diesem Bereiche (li) stellt also die ohige Formel (8) den Logarith- 

 mus von n (a) dar. 



Bezeichnet q den Convergensexponenten von S {£), d. li. jene positive Zahl, 

 welche dadm-ch eindeutig bestimmt ist, dass von den beiden Reihen 



00 œ 



V=\. V = 1 



t 



die erstere divergirt, ' die letztere convergü't, wie klein auch t sein mag, so 

 besitzt Q jedenfalls einen Werth in dem von p bis p + 1 reichenden Inter- 

 vall, die Grenzen nicht ausgeschlossen. Ist nun (?<i' + l , so kann der In- 

 tegrationsweg zwischen q und j> + 1 verlegt werden. Nach dem Cauchy- 

 schen Satze folgt dann aus (8): 



(8, bis) ■ lognc.)^.^^. j- ^,S(^)-ffe, ç<.<p + i- 



Bezeichnet man durch — «i , — «2 > ■ ■ • — «r , • • ■ die sämthchen von ein- 

 ander verschiedenen Nullstellen von 11 (.;) und mit w^ jin^, . . ■ ,m^ ilu'e resj). 

 Ordnungszahlen, so ist 



(7, bis) n(.)= II (1 + ^Me-«; + 2U-J +■•• + (- ^^VU) , 



V=l " 



(9, bis) s(.)= y -: 



»'=1 



Es verdient besonders erwähnt zu werden, dass die obige Formel auch für 

 Logarithmen solcher Produkte unverändert bestehen bleibt, bei denen die m„ 

 nicht mehr positive ganse Zahlen sind. Alsdann hört das Produkt indess 

 auf, eine ganze Funktion zu sein, und insbesondere hört seine Eindeutigkeit 

 auf, falls die /«„ nicht alle ganze Zahlen sind. Unter transcendenten Funk- 

 tionen von endlichem Geschlecht haben wir in der Überschrift dieser Arbeit 

 alle in der Formel (7, bis) enthaltenen ein- und mehrdeutigen Funktionen 

 gemeint, obwohl wir weiterhin die ganzen transcendenten Funktionen vorzugs- 



weise berücksichtigen werden. 



T. XXIX. 



