Eine Formel für den Logarithmus transccndenter Funktionen. 7 



Eine nach wachsenden Potenzen von x fortsclu'eitende Entwickhing von 

 log n (x) ergiebt sich offenbar, indem man den Integrationsweg ohne Ende in 

 positiver Richtung verschiebt und die zu den passh-ten Polen gehörigen Re- 

 siduen sumnmt. Die Bedeutung unserer Formel liegt aber nicht hierein, son- 

 dern vielmehr in dem Umstände, dass der Integrationsweg auch in der ent- 

 gegengesetzten Richtung in vielen, und zwar in namhaft zahlreicheren Fällen, 

 als man es auf den ersten Blick anzunehmen geneigt wäre, verschoben werden 

 kann, wobei eine nach absteigenden Potenzen fortschreitende, flu- grosse Werthe 

 von X brauchbare asymtotische Entwicklung von log n (r) hervorgeht. Zu 

 dem Ende hat man vor allem zu entscheiden, ob die durch die Reihe (9) 

 definii'te Funktion S (?) ausserhalb des Convergenzbereiches der Reihe existirt, 

 sowie eventuell von welcher Beschaffenheit die singulären Stellen von S (z) 

 sind, da ja die Benutzung des CAucHTschen Satzes auch von diesem Um- 

 stände abhängt. Hiernach erhalten die DmicBLEtscheti Reihen der Form (9) 

 auch für die Theorie der (/amen transcendenten FwMionen ein (jan.z be- 

 sonderes Interesse. Obwohl die zu erledigenden vorläufigen Untersuchungen 

 im allgemeinen grosse Schwierigkeiten darbieten, so giebt es doch auch, wie 

 wir es zeigen werden, sein- allgemeine Gattungen Dirige LETScher Reihen, bei 

 denen man die Schwierigkeiten ü])erwinden kann. 



Bevor wir- in § 5 zu diesen allgemeinen Untersuchungen übergehen, wird 

 in den §§ 2, 3, 4 an besonderen Beispielen erläutert, wie sich die oben an- 

 gedeutete Anwendung unserer Formel in einzelnen Fällen gestaltet und von 

 welcher Verschiedenheit die dabei sich ergebenden Resultate sein können. In 

 den §§ 2 und 3 handelt es sich eigentlich nur um die beiden einfachsten 

 Fälle, wo die Nullstellen von n ( /) eine arithmetische oder eine geometrische 

 Reihe bilden. Die Anwendung der betreffenden Formel führt zu zwei bei dem 

 ersten Blick so verschiedenen Ergebnissen, wie es die STiRLiNGsche Formel und 

 die lineare Transformation einer Thetafunktion sind. Die DiRicuLETSchen Reihen, 

 welche resp. diesen beiden Fällen entsprechen, nämlich 



bilden zugleich die einfachsten Typen von zwei allgemeinen Gattungen Di- 

 RicuLETscher Reihen, durch welche, ebenso Avie durch diese Reihen, in der ganzen 

 ^-Ebene existirende eindeutige Funktionen definirt werden, welche sich an 

 jeder endlichen Stelle wie rationale Funktionen verhalten. 



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