8 H.T. Mellin. 



In § 5 wird der folgende Satz hergeleitet: Sind die Glieder der beiden 

 Reihen 



00 Û0 



* = 1 I' = 1 



von einander derart abhängig, dass 



wo V. eine positive Zahl ist, während % eine gewöhiüiche Potenzreihe hedentet, 

 so verhält sich die Fnnktion S (2) an jeder Stelle der ^ -Ebene régulai', an 

 welcher sich keiner der folgenden Ausdrücke singulär verhält: 



S, (x^), S, (x,r + 1), • • • , Si (xf + /,-), • • • 



Besitzt im Besonderen Si {z) ühei-all im Endlichen den Charakter einer ratio- 

 nalen Funktion, so kommt nach diesem Satze die nändiche Eigenschaft auch 

 der Funktion S (c) zu. Ist beispielsweise R {£) eine beliebige rationale Funk- 

 tion mit der Eigenschaft lim R(z) = 00 , so existiren die durch die Reihen 



^|7?0r + .)]"^^ [«(«"' + ")]"' «>1. 



definirten Funktionen in der ganzen ^■-Ebene, wo sie überall im Endlichen den 

 Charakter rationaler Funktionen besitzen; denn man weiss, dass die einfache- 

 i-en Reihen (12) ebensolche Funktionen definü'en. 



Durch den obigen Satz haben wir noch keinen Aufschluss darüber er- 

 halten, ob z. B. die durch die interessante Reihe 



li,v = l 



deflnirte Funktion ausserhalb des Convergenzbereiches derselben existirt. In 

 den §§ 6, . . . , 9 wird eine Methode auseinandergesetzt, mittelst deren die 

 Existenz der analytischen Fortsetzung nicht nui' für diesen, sondern auch füi- 

 den viel allgemeineren Fall nachgewiesen wird, wo es sich um Reihen der Form 



T. XXIX, 



