Eine Formel für den Logarithmus franscendentcr Funldiotien. 



(13) S(,?)= ^ [n{w,+v,,---,iv„ + v„)\' 



■'■'„= u 



handelt, unter R {n\ , . . . , u;,) eine beliebige in u\ , ■ ■ ■ , u\, ganze rationale 

 Funktion verstanden. Diese Reihe als Funktion von s besitzt sicher einen 

 durch eine gewisse Halbebene geometrisch darstellbaren Convergenzbereich, 

 falls die reellen Theile der Coefficienten von R positive Zahlen sind. Unter 

 dieser Voraussetzung wird gezeigt, dass S (s) eine in der ganzen ^--Ebene 

 existirende eindeutige Funktion ist, welche sich an jeder endlichen Stelle wie 

 eine rationale Funktion -s'erhält und deren Pole alle auf der reellen Axe liegen. 

 Dies Ergebniss bildet eine ihrer grossen Allgemeinheit halber bemerkenswerthe 

 Erweiterung des bekannten Satzes, dass {s— \)'Ç, (z, tv) eine ganze transcen- 

 dente Funktion ist. Das Verhalten von S (z) für grosse Werthe von s wird 

 zugleich näher bestimmt. Für den Fall, dass die Coefficienten von R sowie 

 die Grössen ?r, , . . . , u\ positive Zahlen sind, kann das Verhalten von S (2) 

 folgenderweise charakterisirt werden. Beschränkt man ^ auf einen beliebigen, 

 zur imaginären Axe parallelen Streifen von endlicher Breite, so nähert sich 

 e ~ ^ ' ^ ' S («) bei wachsendem | ^ \ der Grenze Null, wie klein die positive Zahl «• 

 auch angenommen werden mag. In allen diesen Fällen, wo die Coefficienten 

 von R positive Zahlen sind, kann also der Integrationsweg des in (8) vor- 

 kommenden Integrals unter Berücksichtigung des CAiTcuvschen Satzes in der 

 negativen Eichtung der reellen Axe beliebig weit verschoben werden, wodurch 

 eine in der ganzen .r-Ebene, mit Ausschluss der negativen Hälfte der reellen 

 Axe, gültige asymtotische Entwicklung von log n (2) hervorgeht. Die bekannte 

 STiRLiNGSche Formel ist die einfachste unter den unzähligen auf diese Weise 

 sich ergebenden Entwicklungen. 



In der That umfassen aber unsere weiteren Untersuchungen auch eine 

 ei'heblich grössere Menge DiRicHLETScher Reihen als die oben angeführte. Unter 

 den betreffenden Reihen findet sich eine beträchtliche Menge deijenigen, welche 

 für die Zahlentheorie in erster Linie von Interesse sind odei' voraussichtlich 

 sein werden. 



§2. 



Setzt man 



" + 1 /™a"+1. 



œ , X IfxV (-1)" + VxY' + 'i" 



(14) P,(.T)=I1 (|l + -^)g-^ + 2lJ + -- + -,T^W 



V = 1 ^ ' 



N:o 4. 2 



