Eine Formel für den Logarithmus transcendcnter Funktionen. 11 



Bei der Aniialime n = o ergiebt sich im Besonderen 



(16) log r (.r + 1) = log ]/2^ + (^ + ^) log ^-"^ 



— 2k—l<x< — 2k + l 



Bei dieser Herleitung der S'rißLiNGScAen Formel idrd zugleich dir Grül- 

 tigkeit derselben für die ganze x-Ehene mit Ausnahme der negativen Hälfte 

 der reellen Axe erwiesen. 



Ist n > 0, so ergeben sich, je nachdem n eine gerade oder ungerade 

 Zahl ist, die folgenden Formeln 



.■2h + 1 / 1 \ ,,2« + l 1 ^2« 



V-Ï - 1 -ß X^^ + 1-2]) 



+ Z^"'^" 2."2r^TT^2. + ^^"(^''')' -2/^-l<'^<-2/.+ l<-2». 

 v = l 



(18) log ^3„-.(.) = C'(l-2,0 + (^>(-l)"§.)log.-(«/.(l)+2^)£ 



k 

 + 22;^I+ Z ^~^^ 2.2^^2.-^^'-i(^=''>' 



— 2/t — 1< X < — 2A; + 1 s — 2w + 1 . 



In der letzten Formel deutet der Strich an, dass das Glied, wo r = n, nicht 

 vorkommt. 



Setzt man v.^ — 2k — 1 + rf , unter ô eine beliebig kleine positive Zahl 

 verstanden, und benutzt die fundamentale Ungleichheit (4), so ergiebt sich, 

 dass sich das Restintegral in jeder der drei Formeln bei wachsendem \ x \ der 

 Grenze Null annähert, und zivar so schnell, dass noch die Grösse 



\ x" I (.c \x)\< C{x,t) x\ , 



N:o 4. 



