Eine Formel für den Lof/arilhmus transcendcuter Funktionen. 13 



§3. 

 Setzt man 



(20) n„{x)= n {l + r/^ + l^J^'"^'^", (/ = e-"<l, 



r = 



SO ist bei diesem Produkte q - p = , «?„ = (2 v + 1)" und Û- ^ o , falls (/ 

 eine reelle positive Zahl, was im Nachfolgenden angenommen wü'd, sowie 



00 



V — 



1" = 



1 W _ „ (^" 2 



8omit ist 



X + • 00 



(21) logn„(*)= 'f-V — ~ Ï J^~J^^~.ilz, Q<x<l, 



X — 1 00 



und zwar gilt diese Formel bei positivem q für die ganze a;-Ebene mit Aus- 

 nahme der negativen Hälfte der reellen Axe. 



Wü- sind also zur Untersuchung des folgenden Integrals geführt 



X + iOO 



(22) /(.i,- ; x) = -1. f -.— ^^ ^'fe, 0<x<l. 



X — i 00 



p 



Die Pole des IntegTanden sind ^ = v und * = ^ , füi" i' = , + 1 , + 2 , . . . + cc ; 



und sie bilden also zwei arithmetische Keihen, deren entsprechende Punkte auf 

 der reellen, beziehungsweise auf der imaginären Axe liegen, weil r nach der 

 Voraussetzung rein imaginär ist. Nach dem OAucHYSchen Satze ist I (i ; x) 

 gleich dem Integral I (x , — x), dessen Integrationsweg zwischen o und — l läuft, 

 vermehrt um die Residuen li^, , welche zu den auf der imaginären Axe liegen- 

 den Polen gehören. Diese Pole sind, abgesehen von der (« + 3)-fachen Stelle 

 < = , alle einfach. Andererseits geht aus der Form des Integrals her- 

 vor, dass 



I(x;-x) = i-ir + 'l(^;xy 

 N:o 4. 



