14 Hj. Mellin. 



Man hat also 



CO 

 (23) / (.r ; x) + (- 1)" I (x- 1 ; ;.) = 7?„ + ^ (7?^ + /?_ J , 



v = i 



wo 



_^_,_,^„ r" a:-+(-l)":t. - 



wäluend Bq die Form hat 



v» + 1 .1» 



sinsr- 



T 



B, (r , log ,) = C; ^ 2 (T) (log .,)" + ^ + C„ (T) (log X)" + C; _ 2 (T) (log .:)" - + •••, 



wo die c rationale Funktionen von r sind. Das letzte Glied ist von x un- 

 abhängig, falls 71 eine gerade Zahl ist. 



Verschiebt man den Integrationsweg von (22) ohne Ende in der positiven 

 Richtung der reellen Axe, so nähert sich I {x ; x) bei der Annahme | a; | < e'' ' ^" ' 

 der Null, während sich zugleich auf der rechten Seite eine Reihenentwicklung 

 für I {x;x) ergiebt. Setzt man diese Entwicklung in (23) ein, so hat man 

 die bemerkenswerthe Formel 



(-ir x^ + {-i)"x~- _ ^ ,. ,_,,^^„ V (-ir ^" + (-i)"^' ' 



y (-ir -^^ + ^-i) - :^-7?o(r,log.) + r" V i=if^- 



smsrj' ( — ■»■ ) 



î' = i 



deren linke Seite für e- ^f | r | < [ ^; | < e^i | r | m^d rechte Seite für — ;r < e < + jr 

 convergü't. — Setzt man x = i und n gleich einer geraden Zahl, so ist im 

 Besonderen 



V (=i_i)! ^_ _ , (^) + ^- v ^^' ^ 



sinsr»' (— T ) 



wo r- (t) rational in r ist. Obwohl r bei der Herleitung dieser Formel als eine 

 rein imaginäre positive Zahl vorausgesetzt wurde, so convergiren doch die bei- 

 den Seiten derselben gleichmässig in jedem endlichen Theile der oberhalb der 

 reellen Axe liegenden Halbebene. Bezeichnet man die linke Seite, welclie 

 offenbar die Periode 2 besitzt, mit cp (r), so besitzt diese Funktion die beiden, 

 an die automorphen Funktionen erinnernden Eigenschaften 



y(tr + 2) = ,f(T), 



T. XXTX. 



