Eine Formel für den Logarifkmus transcendenter Funlctionen. 15 



Was endlich die aus (21) sich ergebenden asymtotischen Formeln be- 

 triift, so wollen wir bei dieser Gelegenheit nur den Fall n = o näher betrach- 

 ten. In diesem Falle erhält man für Bq den Ausdrack 



und sodann aus (21) und (23) die Formel 



(- 1)" X'^ + X "^ 



,.5, .„,n.(., = -iogn„(J.)-(4|S+^^(. + i) + i2;^-^, 



v = \ 



sinsr»' (— t ^) 



welche zeigt, wie sich no(») füi' gi'osse Werthe von x verhält. Beschränkt 

 man nämlich x — \x\é''^ auf den Bereich — jr + €<e<: + jr — f, so bleibt 

 die auf der rechten Seite stehende Reihe endlich; denn es ergiebt sich leicht 



(— 1)" x'' + x 



v=^ 



sin^j' (— T ) 



< 9r>s 



2 ■ (i-.^), 



2nr 



1— e»'^ 



unter r eine rein imaginäre positive Zahl verstanden. 



Diese Formel (2.5) kan aber auch von einem anderen Gesichtspunkte aus 

 betrachtet werden. Sie ist in der That zugleich eine Formel flu' die lineare 

 Transformation einer gewissen Thetafunktion. Setzt man nämlicli 



t.^ I . -\ TT / 2yiiu\„ , — 2TH(\ TT ), . .>i,j_i 2;t(hI ), , 2i' + l — 2irî'« crh 



0(h;t) = n„(t )\\>' )- {{ yl+T+^c | |1 + î e j.5 = e'^"^, 



so ist 



00 .00 





V = I 



f. f. - -.. .^_j - smsrvT 



Aus (25) ergiebt sich nun in der That in dem man x = e:^" ' " setzt : 



ö(«;-^)=0(«;.)e-^ 



ni( , 1\ 

 Îàl^ + J 



N:o 4. 



