16 H.T. Mellin. 



§4. 



Auf Grund der letzten Ergebnisse werden wir ungezwungen veranlasst 

 die Formel (8) auf die zuerst von Herrn Appell eingehende]- untersuchten 

 Produkte 



(26) U{x;r,,..., r„) = H {l + •»• îi'"' ' ' • ' • In"" + '} 



"i > • • • , ^, = 



Ifx = ("i^f ' ( -7^ I < 1 . /"' = 1, 2, . • • , « , 



anzuwenden, wo die Indices i' unabhängig von einander alle positiven ganz- 

 zahligen Werthe von der Null an durchlaufen. Es wii-d sich ergeben, dass 

 die Formel für die lineare Transformation der obigen Thetaftmktion ein spe- 

 cieller Fall einer für diese allgemeineren Produkte gültigen Formel ist. 



Die DiRiCHLETSche Reihe, welche in der Formel (8) dem Produkte (26) 

 entspricht, lautet 



w = 2 ». 



(2''. + 1)-- . . . ,y„K. + 1)~- ^ _i! q» _(i\ 1 .. 1 



= 



g{" 1 — q„^ ^2/ sinsrT,^ sin?rT„s 



Jetzt beabsichtigen wir zugleich eine solche Anwendung der betreffenden 

 Formel zu geben, bei welcher die den Argumenten der grossen «,, und x auf- 

 erlegten Beschränkungen durch eine andere Wahl des Integrationsweges auf- 

 gehoben werden können, während allerdings der absolute Betrag von x eine früher 

 nicht stattgefundene Bedingung erfüllen muss. In der Formel (8) müssen die 

 Argumente der Grössen rr„ die Bedingung (lo) und das von x die Bedingung 

 (11) erfüllen, während der absolute Betrag von . t keiner Beschränkung unterliegt. 

 Benutzt man aber statt der betreffenden, auf der reellen Axe senkrecht stehen- 

 den Geraden als Integrationsweg eine die Stellen £■ = /< + 2 , p + 3 , • • • , oo 

 umschliessende Curve (p + 2,Qo), deren kein Theil ausserhalb des Convergenz- 

 bereiches der Reihe (9) liegen darf, etwa die gebrochene Linie 



-\- «i — i(o X — im X -\- Im [- oo -\- i m 



;'+ l<'<<p-|-2, eventuell ç < s< < /' + 1 , 



T XXIX. 



