Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen. 17 



so unterliegen in der Formel 



(- 1)" S {p + 1) ^^ + ./-. r . "^ s (.z) '""^ dz, Q=p+i, 



(•27) log n (x) 



(p+l,CO) 



die Argumente der genannten Grössen nunmehr keiner Bescliränkung. während 

 dagegen :r die Bedingung erfüllen muss, dem absoluten Betrage nach kleiner 

 als die sämmtlichen Grössen «,, zu bleiben. — Die Richtigkeit hiervon geht 

 ohne weiteres hervor, wenn man beachtet, dass x in der Formel ((;) bei dieser 

 Wahl des Integrationsweges nur die Bedingung | x | < i erfüllen muss. 



Wendet man die allgemeine Formel (27) auf das obige Produkt an, so 



folgt 



(•28) 



loo- n (i' ; T, , • • • , T„) = ., , . / -. -. — ^ ds , 



WO der Intergrationsweg ausser den Stellen .<• = 1, 2, • • • , co keine anderen Pole 

 des Integranden umschliessen darf und zugleich x die Bedingungen erfüllt 



k K I ^y.a"' I = K- " '>| , ^ = 1, -2, • • • , « . 



welche allerdings den wahren Convergenzbereich des Integrals im allgemeinen 

 nicht detiniren. 



Die l'ole des Integranden zerfallen in (ii + i) arithmetische Reihen. Set- 

 zen wir der Einfachheit halber voraus, dass nicht nur die r sondern auch ihre 

 Verhältnisse complexe Grössen sind, so liegen die Punkte, welche diesen n ~\- i 

 Reihen entsprechen, auf ebenso vielen verschiedenen, im Punkte z =. o einander 

 schneidenden geraden Linien. Ausser der {ii + 2)-fachen Stelle ^- = o sind 

 alle übrigen Pole alsdann einfach. In (28) bezieht sich die Integration auf eine 



Cui-ve, welche alle auf dem Halbstrahl o h od hegenden Pole und keine 



anderen umschliesst. Auf Grund der symmetrischen Form des Integranden 

 darf man schliessen, dass das Integral, auf irgend einen der übrigen Halb- 

 strahle bezogen, ebenfalls den Logarithmus eines dem n analogen Produktes 

 darstellen muss. Andererseits ergiebt sich ohne Mühe, dass das Integral, we- 

 nigstens wofern x die Bedingungen 



I 3^ l< I * l< I (Iv~^\ , i« , J' = 1, 2, • • • , w , 

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