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so verhält sicJi S (.s) an jeder 8telle der s-Ebene regulär, welche für keinen 

 der unendlich vielen Ausdrücke 



Si (x s ^- /0 , /c = , 1 , 2 , • • • , 00 , 



eine singulare Stelle ist. 



Denn offenbar lässt sich A„~'' , wenn wir ^ (O) = l annehmen, anf die 

 Form bringen 



— .1 — r, - X S 



A -S = a,- X« Il + /; (,) a,- 1 + ^_^ (^) „^- 2 + . . .] , 



wo die f von i- unabhängige ganze rationale Funktionen von s bezeichnen. 

 Hieraus folgt 



(.30) S (.s) = Si (;. ,v) + A (s) Si (X s + 1 ) + . . . + 4 (s) S, (x 5 + A) 



wo ^;. eine gewöhnliche Potenzreihe bedeutet, deren Coefficienten von v un- , 

 abhängige ganze rationale Funktionen von s sind. Otfenbar convergirt ^/. als 

 Funktion von s gleichmässig und bleibt bei wachsendem v dem absoluten Be- 

 trage nach unter einer endlichen Grenze, falls s auf ein beliebiges endliches 

 Gebiet beschränkt wird. Hieraus folgt ohne Mühe die Richtigkeit des Satzes. 

 Bedeutet z. B. R {ir) eine ganze oder gebrochene rationale Funktion mit 

 der Eigenschaft lim 7i' («■) = qo , so können wir auf Grund dieses Satzes schlies- 



H' = 00 



sen, dass die durch die Reihen 



2] [Ii W + .')]- % 5] I /? {a- ' ")]- ^ I a I > 1 , 



definirten Funktionen in der ganzen .s-Ebene existiren, wo sie sich überall im 

 Endlichen wie rationale Funktionen verhalten. Denn wir wissen, dass die 

 durch die einfacheren Reihen 



C {s , ,r) = I; («• + ,.)- ^ und ^^ . ~;~ = ^ 



OD 



{ "■ + v) S 



a 



1' = o v = 



definirten Funktionen diese Eigenschaft besitzen. 



In gewissen Fällen nähert sich die letzte auf der rechten Seite von (30) 

 vorkommende Reihe, welche als ein Restglied aufzufassen ist, bei wachsendem 



T. XXIX. 



