Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen. 21 



/(• (1er Null. In solchen Fällen erhält man fui- die linke Seite eine neue Reihen- 

 entwicklung, welche bisweilen sogar in der ganzen .s-Ebene mit Ausschluss 

 gewisser Stellen convergiren kann. Ein Beispiel hiervon ist die Formel 



t = 



Wir gehen nunmehr zur Darlegung einer schon in § 1 erwähnten Me- 

 thode ülier, mittelst deren nicht nur die Existenz der analytischen Fortsetzung 

 einer durch eine DruicHLETsche Eeihe detinirtcn Funktion in sehi' allgemeinen 

 Fällen nachgewiesen, sondern auch die Beschafienheit derselben genau ange- 

 geben werden kann. 



In diesem Paragraphen wird zuvörderst eine fundamentale Transformations- 

 formel hergeleitet, mit deren Hülfe die zu untersuchenden Beihen auf ein- 

 fachei'c zurückgeführt wei'den, allerdings in der Weise, dass die einfacheren 

 Reihen unter den Zeichen eines vielfachen Inregi"als erscheinen. 



Ist der reelle Theil ') von s positiv, so hat man 



X + ''00 



t — '■ CO 



und zwar convergirt dies Integral gleichmässig in jedem endlichen Theile der 

 x-Ebene, der mit der negativen Hälfte dei- reellen Axe keinen Punkt gemein- 

 sam hat. Denn das Verhalten der (lammafunktion für unendlich grosse, einem 

 beliebigen zur imaginären Axe parallellen Streifen von endlicher Breite ange- 

 hörige Werthe -? - n -\- i v wird bekanntlich durch die Formel 



(33) |/-(^)j = C"^'"'-|^"--J|.|]''2^ + .| 



charakterisirt, wo t eine bei wachsendem ! ^ | gegen die Null gleichmässig ab- 

 nehmende Grösse bedeutet. Hieraus geht die Richtigkeit der die Convergenz 

 betreffenden Behauptung hervor. Die Gleichung (32) ergiebt sich sodann mit 



') Der reelle Theil einer coniplexen Grösse s wird in dieser Arbeit durchgehend mit r (s) 

 bezeichnet. 



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