Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen. 23 



unter- y^, (r^,) eine nur von i\ abhängige Grösse verstanden, für hinreichend 

 grosse Werthe von r(.s) unbedigt convergiren. Da die reellen Theile der 

 Coefücienten von R als i)Ositiv vorausgesetzt sind, so ergiebt sich ohne Mühe 

 — und zwar am schnellsten mit Benutzung von (36) — dass auch die Reihe 





("i > • • • > 



wo v^ genau dieselben Werthe durchläuft wie in S„ (s), in einer gewissen 

 Halbene unbedingt convergirt. Mit Benutzung tlieser Bezeichnungen ergiebt 

 sich nun aus (36) die Transformationsformel 



(40) r(s)S(6) = 



Xl + <• CO 



n\'f ... ( r (,-, ...^.,) r(^...r(^ . ^^.. 



[yj •■ '^, "p 



WO die positiven Grössen x und r {$) solche Werthe besitzen müssen, dass die l^ 

 in den Convergenzbereichen der bezüglichen Reihen S,, bleiben. Es wird zu- 

 gleich wie früher angenommen, dass die r (c^) positiv sind. 



Der Zweck unserer in den folgenden Paragraphen enthaltenen Unter- 

 suchungen ist nun zu zeigen, dass man unter den nachstehenden Voraussetzun- 

 gen hinsichtlich der durch die Reihen (38) definirten Funktionen S, (s) sclüies- 

 sen dai-f, dass dieselben Eigenschaften auch der Funktion r{s)S{s) zukommen. 

 Wir setzen nämlich nicht niu- voraus, dass die S„ in der ganzen s-Ebene 

 existii-ende eindeutige Funktionen sind, welche sich an jeder endlichen Stelle 

 wie rationale Funktionen verhalten, sondern auch, dass sie die folgenden bei- 

 den Eigenschaften besitzen. In jedem zur imaginären Axe parallelen Streifen 

 von endlicher Breite soll sich nur eine endliche Anzahl Pole der S^ fin- 

 den, und in jedem solchen Streifen sollen die S,, , nach Multiplikation mit 



t;~''*', bei wachsendem |s| gegen die Null convergiren, wie klein auch die 

 positive Zahl e angenommen werden mag. Genau dieselben Eigenschaften 

 kommen alsdann auch der Funktion r (s ) S (a) zu. 



Da die Funktion t {s , w) bei positivem w alle oben genannten Eigenschaf- 

 ten besitzt, so folgt als Corollarium aus dem Gesagten, dass auch jede Reihe 

 der Form 



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