24 H.T. Mellin. 



00 



r(.s) 



(41) r{s)S{s)= ^ 



[R (m-, + V, , . . . , ?,;„ + Vj]» 



WO die Indices unabhängig von einander alle positiven ganzzahligen Werthe 

 durchlaufen, eine in der ganzen s-Ebene existirende Funktion mit den genann- 

 ten Eigenschaften definirt. Die reellen Theile der Coefticienten c werden stets 

 positiv angenommen. 



Unsere Untersuchungen umfassen aber, wie leicht zu finden, auch eine 

 grosse Menge anderer, für die Zahlentlieorie interessanter Reihen der Form 

 (39) von denen wir- besonders diejenigen hervorheben wollen, welche vermit- 

 telst der Formel (40) auf die bei der Bestimmung der Classenanzahlen binärer 

 quadratischer Formen auftretenden Reihen 



D^ 1 



2ljUJ,iS 



zurückgeführt werden können. Bekanntlich hat Herr Htikwitz diesen Reihen 

 eine Arbeit ') gewidmet, woraus zu finden ist, dass dieselben im wesentlichen 

 linear durch Reihen der Form g" (s , rc) darstellbar sind und somit die bei 

 unseren Untersuchungen vorauszusetzenden Eigenschaften besitzen. 



Eine bemerkenswerthe Gattung von Reihen der Form (39) ei'hält man, 

 Avenn man setzt 



OD 



(42) s(.)= y 



wo die a > 1 sind, und die Indices v alle positiven ganzzahligen Werthe 

 annehmen. Diesen Reihen entsprechen in der Formel (40) gewöhnliche geo- 

 metrische Reihen. Die Reihen (42) stehen somit zur gewöhnlichen geome- 

 trischen Reihe in demselben Verhältnisse wie die Reihen (41) zur Reihe ^{s,tv). 

 Unsere weiteren Untersuchungen umfassen aber nicht ohne weiteres die 

 Reihen (42), weil die geometrische Reihe alle oben angeführten Annahmen 

 nicht erfüllt. 



§ 7- 



Es seien F^ {£) , . . . , F„ {s) eindeutige Funktionen, welche sich an jeder end- 

 lichen Stelle wie rationale Funktionen verhalten. Die Pole von Fr (<) mögen 



') Zeitschr. f. Mathem. u. Physik. Jahi-g. 27. 



T. XXIX. 



