Eine Formel für den Logarithmus transcendentcr FunJdioncn. 25 



mit P^'' ,(W = 1 , 2 , 3 , . . . , bezeichnet werden. Man substituire in F^, (-;) für ^ 



den linearen Ausdruck 1^ — A''' ^ + -4, " z\-\ + A),' ^-^ , so besitzt jede ganze 



rationale Funktion F (^ , ^, , . . . , ^',,) von F, (/,) , . . . , F„ (/„) die folgende Eigen- 

 schaft: 



Beschränkt man dan Sijntcin ^ , ^, , . . . , ^^, auf den durch die Unjjleich- 

 heiten 



(43) 1^1 <e. I^>l<?. ••• .M^Js^? 



definirten Bereich, unter o due /)elirhi(j grosse positive Zahl verstanden, so 

 verhält sieh P(^- , ^-^ , . . . , <y) , na eh Multiplikation mit einer passe^iden, aus 

 den linearen Fakt(nen 



ni) ^'"' .• + Ar -'. + ••• + A? ^v - K' 



I' = 1 , 2 , . . . , J( , ;t/. = 1 , 2 , 3 , . . . , 



gebildeten, game^i rationalen Funktio)i, in der Nähe jeder Stelle des Bereiches 

 (43) re//ulär. 



Für die weiteren Untersuchungen ist es nötliig, von dieser Eigenschaft als 



Definition der Funktion /^(~- , .-'^ , :),) auszugehen und zu ermitteln, in welcher 



Hinsicht F hierdurch bestimmt wird. Insbesondere ist der Naciiweis von Wich- 

 tigkeit, dass die in den linearen Ausdrücken (44) aafi retenden Grössen P, 



falls ihre Anzahl unendlich gross ist, die Bedingung hm Pf,, = od erfüllen, 



/J = 00 



d. lt. dass jeder endliche Bereich nur eine endlicJte Aiwahl derselhoi ent/iält. 

 Hierbei ist zu beachten, dass die Ausdrücke (44) unserer Annahme nach in n 

 Gruppen zerfallen mit denselben Coefficienten A in einer und derselben Gruppe. 



Offenbar sind die partiellen Ableitungen jeder Ordnung einer solchen 

 Funktion F {:-■ , ^ , . . . , ^^,) sowie jede ganze rationale Funktion mehrerer solchen 

 Funktionen ebenfalls derselben Ai-t wie F. 



Es sei 



e> < ?2 < • • • < Pi < • • ■ 



eine unendliche Folge positiver, , die Bedingung lim q = go erfüllender Grössen. 



Dem durch die Ungleichheiten 



definirten Bereich entspricht unserer Annahme zufolge eine aus den linearen 

 Faktoren (44) gel»ildete, ganze rationale Funktion B;,(s , ^ , . . . , -?p) für welche 

 das Produkt 



N:o 4. 4 



