26 Hj. Mellin. 



(45) B^{z,z,,...,z^F{z,s,,...,B^ = G^{z,z,,. ..,z^ 



in der Umgebung jeder dem Innern des Bereiches {q^} angehörigen Stelle sich 

 regulär verhält. Es wird vorausgesetzt, dass Ä^ keinen überflüssigen Faktor 



A^"^ z + A,^"^ z^-] i-^y'^^^ — p^"' enthält. Dieser Faktor ist dann und nur 



dann überflüssig, wenn sich (r^. auf die Form 



(46) G, = {A^'\ + ^';' .. + ... + AT z^ - P^) I^. 



derart liringen lässt, dass H^^ ebenfalls eine in (q^) überall regulär sich verhaltende 

 Funktion ist. Eine solche Identität findet nicht nur in dem Falle statt, wo 

 keine der die Gleichung 



.(47) ^("), + ^<'" ..+•••+ 4^' .—pr=o 



befriedigenden Stellen im Innern des Bereiches (q^) gelegen ist, sondern auch 

 in dem Falle, wo dieser Bereich Stellen der genannten Art in seinem Innern 

 enthält') und zugleich die Gleichung G-^ — o durch die Beziehung (47) identisch 

 erfüllt wird. Dass diese Bedingung im letzteren Falle noth wendig ist, ist ohne 

 weiteres einleuchtend. Wir wollen es nicht unterlassen, näher nachzuweisen, 

 dass sie auch hinreichend ist, weil sich die weiteren Schlüsse auf diesen Nach- 

 weis gründen. 



Nimmt man an, die Gleichung 



(48) G,(2,^,,---,^^) = 



bestehe für alle einer hinreichend kleinen Umgebung der Stelle z = a , z^ = a^ ,..., 

 Sj, — a^ angehörigen und die Gleichung (47) befriedigenden Werthsysteme ^- , ^, , . . . , ^'j„ , 

 so ergiebt sich zunächst in ähnlicher Weise wie bei ganzen rationalen Funk- 

 tionen, dass Q^ als Funktion der jJ + 1 unabhängigen Veränderlichen z , s^^ . . . ^s^ 

 auf die Form (46) gebracht werden kann, wo B.^ eine in der genannten Umge- 

 bung durch eine gewöhnliche Potenzreihe von ^- — a , ^, — a, , . . . , ^-^ — «^ dar- 

 stellbare Funktion bedeutet. Damit man aber berechtigt sei, hieraus zu schlies- 

 sen, dass H^ auch an jeder andern, dem Innern des Bereiches {q^ angehörigen 

 und die Gleichung (47) befriedigenden Stelle sich regulär verhalte, bleibt noch 



') FaUs der Bereich (p^), welcher ein (2jp + 2)-fach ausgedehntes Continuum ist, überhaupt die 

 Gleichung (47) befriedigende Stellen in seinem Innern enthält, so enthält er deren stets unendlich 

 viele, eine 2ra-fache Mannigfaltigkeit bildende Stellen. 



T. XXIX. 



