Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen. 27 



übrig zu zeigen, dass die Gesamniheit der durch diese beiden Bedingungen 

 definirten Wertlisysteme ^ , ^, , . . . , ^^ ein einziges Continuum im Gebiete von ^) 

 diesel- ^j + 1 Veränderlichen Ijildet. Nach einem bekannten Satze müssen als- 

 dann die beiden Gleichungen (47) und (48), wovon (46) stets eine Folge ist, 

 auch in der Umgebung jeder andern Stelle des Continuums stattfinden, wenn 

 sie in der Umgebung einer solchen Stelle bestehen. 



Dass in der That ein stetiger Übergang von einer solchen Stelle ^ = a , 

 s, = a^ , . . . , s^ = a^ zu jeder andern ^' = a' , ^, = a[ , . . . , Sj, - a'j, im Innern 

 des Bereiches (^J möglich ist, sieht man sehr einfacli folgendermassen ein. 

 Setzt man 



s ^ a-\- {a' -^ a) t , z^ = a, + (a' — a,) t , . ■ ■ , z^, = a.^, + {a'^ — a^,) t 



so befriedigt dieses System für alle Werthe von t die Gleichung (47), weil das- 

 selbe unserer Annahme zufolge nicht nur mit (t , (f, , . . . , a^, sondern auch mit 

 a' ,«',..., a[, der Fall ist. Lässt man nun t alle reellen Werthe von t = o 

 bis < = 1 annehmen, so bewegt sich 2 in gerader Linie von .a = a bis 2 = a' , 

 ebenso i\ in gerader Linie von ^, = (/, l)is ^, = «/ , etc. Weil nicht nur die 

 Grössen a , », , . . . , o^, sondern auch die a' , a[ , . . . , ft^ der gegenwärtigen An- 

 nahme gemäss dem absoluten Betrage nach kleiner als (»^ sind, so ergiebt sich 

 ohne weiteres, dass sich hierbei das System 2 , 2^ ^ . . . , &-^, im Innern des Be- 

 reiches (^j.) vom Punkte a ,«,,..., «.^ bis a' , a[ , . . . , a', stetig bewegt. 



Besteht also die Gleichung (4S) für alle Werthsysteme -- ,*,,..., z^,, welche 

 einer hinreichend kleinen Unigel)ung einer gewissen im Innern des Bereiches 

 (çj gelegenen Stelle angehören und die Gleichung (47) befriedigen, so ist dies 

 eine hinreichende Bedingung dafür, dass sich G^, auf die Form (46) bringen 

 lässt, wo H^, ebenfalls eine im Bereiche (çj überall regulär sich verhaltende 



Funktion ist. 



Setzen wir nun fest, dass die oben erwähnte ganze rationale Funktion R^^ 



keinen überflüssigen Faktor enthalten soll, so sieht man auf Grund des soeben 

 Dargelegten ohne Mühe ein, dass Ä^. durch diese Bedingung bis auf einen 

 Constanten Faktor eindeutig bestimmt ist, sowie dass B^ stets ein Theiler von 

 A + „ ist. Setzt man B^,^,^ = R,,Q^._^,^ , so ist 6^,.^,, = (7,. ^,^„. Hieraus 

 schliesst man weiter, dass keine der die Gleichung ^^. ^ ,^ = befriedigenden 

 Werthsysteme s , s , . . . , s^ dem Innern von (çj angehören kann, weil im ent- 

 gegengesetzten Falle ein überflüssiger Faktor in R^ ^ ,^ vorhanden wäre. Beach- 



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