28 . Hj. Mellin. 



tet man überdies, dass die linearen Faktoren (44), woraus die sämmtliclien R 

 gebildet sind, unserer Annahme nach in eine endliche Anzahl von Gruppen 

 zerfallen mit denselben Coefflcienten A in einer und derselben Grujipe, so folgt 

 leicht, dass es im Endlichen keine Stelle giebt, in deren Nähe eine unendliche 

 Menge der P sich findet. Ist also die Anzahl der P unendhch gross, so müs- 

 sen sie die Bedingung lim P^p = oo erfüllen. 



jU = 00 



Nunmehr sieht man auch ohne Mühe ein, dass die oben definirte Funk- 

 tion F in der Form 



(49) F{z,z,,...,z)- '-^^ ' ^^- 



darstellbar ist, wo G eine ganze Funktion von ^- , ^, , . . . , ^■j, und G^ (/^) eine 



ganze Funktion von l^, = A^"^ z + A^^^ s^-\ + JlI^ z\, bedeutet. Hiervon 



machen wir jedoch keinen Gebrauch. 



§8. 



Von den linearen Ausdrücken (44) wird weiierhm ■vorausgesetH, dass 

 die Coefficienten A reelle Zahlen sind, ivährend, die P die Bediuytmg erfül- 

 len, dass jeder zur imaginären Axe parallele Streifen von endlicher Breite 

 7iur eine endliche Anzahl derselben enthält. 



Unter dieser Voraussetzung kann die unseren Eröi'terungen zu Grunde 

 liegende Funktion F (z , z^ , . . . , z^,) auch folgenderweise charakterisirt werden: 



Beschrätild man das St/stern z , z^ , . . . , Zj, auf den durch die UngleicJi- 

 heiten 

 (50) -ç<r{z)£^(>, -ç^r{zJ^-\-Q, ■■■ , - (> £ri2^)£ + Q 



definirten Bereich, unter q eine heliebig grosse positive Zahl verstanden, so 

 verhält sich F {z, z^ , . . . , z^) , nach Multydikation mit einer passenden, aus den 

 linearen Faktoren (44) gebildeten, ganzen rationalen Funktion B{z , z^ , . . . , z^,) , 

 in der Umgebung jeder endlichen Stelle dieses BereicJies regulär. ') 



Betrachtet man irgend eine der Grössen z,z^^...,Zp, etwa z, als ver- 

 änderlich, die übrigen aber als unbestimmte Parameter, so ist F eine in der 

 ganzen ^-Ebene eindeutige Funktion von z, welche sich an jeder endlichen 

 Stelle wie eine rationale Funktion verhält, und zwar kann sie nur an den 

 Stellen z unendlich gross werden, welche durch die linearen Gleichungen 



') Durcli r (z) wird der reeUe Tlieil von z ■bezeichnet. 



T. XXIX. 



