Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen. 29 



(51) ^"" . + Af ^. + • • ■ + 4"' ^ - TT = 



V = 1 , 2 ,...,«,/* = 1 , 2 , 3 , ... , 



definü-t sind. Wii- betrachten nun das folgende Integral 



X + i CO 



(52) ^h(^. '•22'--->^p) = 2^- / F{z,z,,---,Zi,)dz, —q<x<i + q, 



x — icc 



dessen auf der reellen Axe senkrecht stehender Integrationsweg durch keinen 

 Pol des Integranden hindui-chgehen darf. Damit dies Integral in der Umge- 

 bung jeder endlichen Stelle 2^ = z[ , . . . ,2^ = z-[, gleichmässig convergire, in 

 deren Nähe keine durch die Gleichungen 



(53) ,),(■'),(,,) + . . . + ..i;") . (,; = r (If) - A^^'. 



c/innilderisiyte Stelle (jeUycn ist, müssen gewisse Bedingungen hinsichtlich des 

 Verhaltens von F bei wachsendem j 2 \ erfüllt sein. Bei der folgenden An- 

 nahme dürften sich die weiteren Erörterungen am einfachsten gestalten, während 

 sie zugleich eine für unseren gegenwärtigen Zweck mehr als him-eichende 

 Allgemeinheit besitzen : 



Bescliräu/d man die Verändviliche s auf einen hiiircic/ici/d schmalen, 

 den Integrationsweg enthaltemlen Parallelstreifen y, — f:<^r (2)<^% -{- i sowie 

 das System 2^ , . . . , 2j, auf ein hcHvhiges endliches Gebiet, so bleibt das Pro- 

 dukt z^ + '^RF, unter ]c,K resp. eine positive Zahl u)uJ eine passend gewählte 

 gan^e rationale Funktion der oben angegebenen Art versfanden, dem abso- 

 luten Betrage nach unter einer endliclten Grenze: 



(54) \z^^'^R{z,z,,...,z,)F{z,z,,...,z,^<M. 



Beschränkt man das System z^, . . . , s^ auf eine hinreichend kleine Um- 

 gebung 



|^.-<|<e', ... ,\z^-z'^\^q' 



irgend einer Stelle ^ ' , . . . , ^^ , in deren Nähe keine durch die Gleichungen 

 (53) charakterisii'te Stelle gelegen ist, so ist jedes Glied der Reihe 



r = + CO X + i (v f 1) « + I 00 



s Li J F{z,z,,...,z,)az = ^. j F{z,z,,...,z,)dz 



1» = — 00 K + in K — 100 



dem absoluten Betrage nach kleiner als das entsprechende Glied der Reihe ^) 



') Durch eine ViJTi reichend kleine Verschiebung des Integrationsweges, welche den Werth von 

 (52) nicht verändert, kan immer erreicht werden, dass k nicht gleich Null ist. 



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