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wo ff die untere Grenze von | JS für 



bedeutet. Die erstere Reihe ist also in der betreffenden Umgebung gleich- 

 massig convergent. Da die einzelnen Glieder derselben in der genannten 

 Umgebung bekanntlich monogene Funktionen von z, , . . . , Sj, sind, so stellt nach 

 einem bekannten Satze auch die Reihe selbst, d. h. das Intergi'al (52), in der- 

 selben Umgebung ein Element einer monogenen Funktion von s, , . . . , Zp dar. 



Dieser Beweis behält überhaupt auch für den Fall seine Gültigkeit bei, 

 wo das System z^,. . .,Zj, auf einen endlichen Bereich beschränkt wird, welcher 

 der doppelten Bedingung genügt: l) dass weder im Innern noch an der Grenze 

 desselben durch die Gleichungen (53) charakterisirte Stellen gelegen sind, 2) 

 dass derselbe aus einem einem einzigen Continuum besteht. 



In jedem solchen Continuum stellt also das Integral (52) uiitet- den ohi- 

 ffen Voraussetzmiffen einen eindeutigen Zweig einer monogenen Funktion von 

 Zi,...,Zp dar, in verschiedenen Continua aber nicht nothtvendig Zweige einer 

 und derselben Funktion. 



Von fundamentaler Bedeutung für unseren Zweck ist nun der Nachweis, 

 dass die monogene Funktion, deren das Integral in einem solchen Conti- 

 nuum einen Zweig darstellt, eine in demselben Sinne wie der Integrand für 

 alle Werthe der unabJiängigen Variabein existirende eindeutige Funktion, ist, 

 welche sich ebenfalls in jedem endlichen Bereiche, nach Multiplikation mit 

 einer passenden, aus linearen Faktoren gebildeten, ganzen rationalen Funk- 

 tion, regulär verhält 



Es sei, um dies zu zeigen: 



(55) B (z ,..,..., ^) = n (4^"' + ^^r .^. + • • • + ^? ^ - ^') 



die dem Bereiche (50) entsprechende ganze Funktion, so dass sich der Ausdi-uck 



(56) n{z , z, , . . . , z;) F {z , s, , . . . ,Zi) = G {2 , z, , ■ ■ ■ , Zp) 



daselbst überall regulär verhält. In denjenigen Faktoren, wo Ä"^ nicht gleich 

 Null ist, setzen wir 



T. XXIX. 



