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Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen. 31 



^W 



wobei diejenigen unter diesen Ausdrücken, welche möglicherweise identisch 

 sind, durch ein u mit demselben Index bezeichnet werden sollen. Die Anzahl 

 der u ist also höchstens gleich der früher mit n bezeichneten Zahl. Dadui-ch 

 nimmt R die Form an: 



wo JÎ, aus den von ^ unabhängigen Faktoren gebildet ist. Durch Zerlegung 

 in Partialbrüche erhält man weiter: 



Führt man die obigen Ausdrücke in (52) ein, so erhält man für das betref- 

 fende Integral eine Darstellung dei- Form 



(58) /,(.., -..,^^) = |^-(r-^^ ^ ^' 7"^ '''"'";/^ ^' 



— ?<«< + Q . 



Bekantlich ist j-^ y gleich dem Werthe, den die (>« — /) te Ableitung von 

 (^' — n — c)'" E (<) in Bezug auf .j' annimmt, indem man .• = « + c setzt. Somit 

 ist (f eine rationale Funktion von «, , ?t, , . . . , welche auf die Form gebracht 

 werden kaini 



(59) y«,<-,A(«.,«.,...)= ---^-^-^ „, 



II (u-v-df 



WO H eine ganze Funktion ist und v die Werthe u^ , n^ , . . . mit Ausnahme 

 von ti durchläuft. 8ubstituirt man in (f für die u ihre Ausdrücke (57), so geht 

 die Funktion </>, welche sonst von ^, , . . , ^■^ unabhängig ist, in eine rationale 

 Funktion von ^\ , . . . , s^ über, deren Nenner in lineare Faktoren zerlegt ist, 

 deren keiner identisch verschwindet. Die in diesen Faktoren vorkommenden 

 Coefficienten sind gleichzeitig mit den Ä reelle Zahlen. Theilt man diese Fak- 

 toren derart in Gruppen ein, dass diejenigen zu einer und dei'selben Gruppe 

 gerechnet werden, welche in den Coefficienten übereinstimmen, so ist die An- 

 zahl der Gruppen bei wachsendem q (50) eine endliche Zahl, weil die Anzahl 

 der Ausdrücke (57) eine endüche ist. 



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