32 H.T. Mellin. 



Die Eichtigkeit des obigen Satzes wird erwiesen, indem wir zeigen, dass 

 die durch die Integrale der redeten Seite von (58) definirten analytischen 

 Punktionen bei passender Wahl von R in jedem endlichen Bereiche sich regu- 

 lär verhalten. Zu dem Ende betrachten wie in einem solchen Integral 



(ßO) ä;(«,^.,...,^,) = ^. r G{z,z,,...,z) ^^ 



nebst z\, . . . , s^ zunächst auch die Grösse u als eine unabhängige Veränder- 



liehe. Weil die Grössen P;,"' und somit auch die c = — die Bedingung er- 



füllen, dass in jedem zur imaginären Axe parallelen Streifen von endlicher 

 Breite nur eine endliche Anzahl derselben sich flndet, so kann nur eine end- 

 liche Anzahl der Grössen 



n 4- c = u -\- '" 



den Integrationsweg r (s) = v. passiren, wofern sich n in einem beliebigen aber 

 bestimmten ebensolchen Streifen — p' ^r(i«)<^ + </ bewegt. Diese den Integra- 

 tionsweg passirenden Grössen mögen ?f + c, . . . , u + C/, heissen. Es sei ferner 

 y in (50) eine beliebige positive Zahl, welche insbesondere so gross gewählt 

 ist, dass z in dem Streifen — ^ <: r (s) < -f 4» alle Werthe annehmen kann, 

 welche diese k Grössen erhalten wenn n alle Werthe in — q' <r (u) <-\- q' 

 annimmt. Sodann nehme man die oben mit IÎ bezeichnete ganze Funktion so 

 an, dass sich G {z ,z^ , . . . ,Zj,) an jeder endlichen Stelle des Bereiches (50) re- 

 gulär verhält. Alsdann sind G {u + c^ , z, , . . . , z^) , . . . , G {u -\- c^, s, , . . . , Zj) 

 sammt ihren partiellen Ableitungen jeder Ordnung regulär sich verhaltende 

 Funktionen an jeder endlichen Stelle des durch 



(Gl) _ç'^,.(„)< + ç', _ç<^(^_)< + p, ... ,_ç<cy(^p<; + ç 



definirten Bereiches. 



Dies vorausgeschickt, lässt sich nun zunächst Folgendes nachweisen. Das 

 Integral (60), welches für r (u -f- c) = x keinen bestimmten Sinn hat, stellt ein- 

 deutige regulär sich verhaltende Zweige zweier verschiedenen Punktionen f\ , f\ 

 dar, je nachdem r (h -]- c)< z oder r (u -f c) > x ist, während £\ , . . . , s^ in bei- 

 den Fällen die obigen Bedingungen erfüllen. Zwischen /' und /.' besteht zu- 

 gleich die Beziehung 



T. XXIX. 



