Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen. 33 



(G2) /; (« ,.-,,..., ^\) = /:(«,.-,,..., z,) + ^i^^j^^^Giti + c,s^,...,2^). 



Da die crsteve Behauptung keiner besonderen Erörterung bedürftig ist, so 



beschäftigen wir uns nur mit der letzteren. Infolge der hinsichtlich des Inte- 



granden geltenden Voraussetzungen ändert das Integral (60), welches mit 



A';,'* oder À'|,-' bezeichnet werden möge, je nachdem /• ii -\- c) < x oder > x ist, 



seinen Werth nicht, falls der Integrationsweg r {s) = x in der positiven oder 



negativen Richtung der reellen Axe um eine kleine Strecke verschoben wird. 



Hiernach ist /v^^' — /v'^;^^^^ und K'^ - K^l^_ ^^ , falls () hinreichend klein ist. Nimmt 



man jetzt u so an, dass z — (^ < r (?( -|- c) < x -(- rt so hat man gleichzeitig 



f, = K*.^\ g und /■, =: Ä'^lfL ,y Nach dem CAucHYschen Satze ist aber Ä''^^'^ ,^ gleich 



1 (J^~i 

 J^f^- s ) vermehrt um das Residuum i ^ _ -^ t"x^^ ^r {u -(- c , ^, , . . . , ^'^,) , welches 



za dem einzigen zwischen den Integrationswegen gelegenen Pole s = u -\- c des 

 IntegTanden gehört. Hiernach ist (62) bewiesen. 



Aus der Gleichung (62) ergiebt sich nun, dass die analytische Fortsetzung 

 der Funktion /', , welche sich infolge /', = Ä'*^^'^ _^ im Bereiche 



'• (" + c)< X + J , — Ç <; r (?,) < + o, ... , — ?<*• {Zp) < + Q 

 iiborall regulär verhält, höchstens an denjenigen Stellen des Bereiches 



r (» + c) > X - J , — e < r {z,) < + e , ... , — Q<r{Zp)< + q, 



wo G{ii -\- c , s^ , . . . , s^) sich nicht regulär verhält, ein singuläres Verhalten 

 darbieten kann. Dasselbe gilt mntatis mutandis von f\. Da indess auch G 

 infolge der getroffenen Festsetzungen an jeder endlichen Stelle des Bereiches 

 (61) sich regulär verhält, so verhalten sich die beiden Funktionen /' , f,_ — und 

 keine anderen kann das Integral (60) darstellen, solange u , z^ , . . . , z auf den 

 Bereich (61) beschränkt sind — ebenfalls regulär an jeder endlichen Stelle 

 desselben Bereiches (61). 



Ersetzt man nun jedes auf der rechten Seite von (58) vorkommende Inte- 

 gral durch die entsprechende im Bereiche (61) überall regulär sich verhaltende 

 Funktion (f\ oder /j) , von welcher das betreffende Integral nur in einem 

 Theile dieses Bereiches einen Zweig darstellt, so geht die rechte Seite in 

 einen eindeutigen Ausdruck </> («^ , m„ , . . . , ^^, , . . . , ^-^,) über, welcher sich offen- 

 bar — nach Multiplikation mit einer passenden, aus linearen Faktoren gebil- 

 deten, ganzen rationalen Funktion von ^^^ , n^ , . . . , ^^ , . . . , ^^ — regulär verhält 

 an jeder endlichen Stelle des Bereiches 



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