34 Hj. Mellin. 



-Q'<r{u,)£ + Q', -Q'<r(u,)< + Q\ ... , 



WO q' und Q nach dem Früheren beliebig gross anzunehmende positive Zahlen 

 bedeuten. Das heisst aber, dass 'I> eine für alle Werthe von u^ ,n,, . . . , s^ , . . . , ^^, 

 existirende eindeutige Funktion der soeben angegebenen Beschaffenheit ist. 



Ersetzt man schliesslich in 'i' die Grössen u durch die linearen Ausdrücke 

 (57), so geht die Richtigkeit des zu beweisenden Satzes ohne weiteres hervor. 



Nach Ausführung der genannten Substitutionen (57) geht </> in eine Funk- 

 tion von s^. . . . ,s^, über, die wir mit F^ (^; , . . . , ^^,) bezeichnen wollen. Was 

 die linearen Ausdrücke betrifft, welche zu dieser Fnnktion gehören, so zer- 

 fallen sie nach dem früher Dargelegten in eine endliche Anzahl von Gruppen 

 mit denselben Coefficienten in einer und derselben Gruppe. Diese Coefficien- 

 ten sind nach dem früher Gesagten reelle Zahlen, während die constanten 

 Glieder die Bedingung erfüllen, dass in jedem zur imaginären Axe parallelen 

 Streifen von endlicher Breite nur eine endliche Anzahl derselben sich findet. 

 Das letztere ergiebt sich ohne Mühe auf Grund der allgemeinen Erörterungen 

 des vorangehenden in Verbindung mit den ^Voraussetzungen und Darlegungen 

 dieses Paragraphen. 



Durch das Integral (52) icird also unter den angeführten Voraussetzun- 

 gen in jedi^m der verschiedenen Continua, in welche der Convergenshereich 

 desselben zerfällt, ein Zweig einer eimleutigen, für alle Werthe von s^, . . . , z^ 

 existirenden, monogenen Funldion F^{s^ , . . . , z^) definirt, deren Verhalten 

 im Endlicheit. mit dem des hitegranden genaii übereinstimmt. Die Anzahl 

 der unabhängigen Veränderlichen ist nur um Eins vermindert worden. 



§9- 



Nunmehr machen wir die folgende Voraussetzung hinsichtlich des Ver- 

 haltens des Integranden im Unendlichen, woraus man auf eine entsprechende 

 Eigenschaft jeder durch das Integral (52) dargestellten Funktion schliessen kann. 



Beschränkt man das System z , z^ , . . . , z^, auf den durch die Ungleich- 

 heiten (50), d. h. 



(63) _e^,,(^)< + ^, _j,<^(.j< + ç, ... ,_ç<r(^^)< + ç, 



definirten Bereich, unter q eine beliebig grosse positive Zahl verstanden, 

 so bleibt 



T. XXIX. 



