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Eine Formel für den Logarithmus transccndentcr Funktionen. 35 



(64) \R{z ,z, , . . . ,z,)F{z ,z, , . . . ,z,)J'-^\-''^''^ ^^ '^^1 1< il/(ç , *) , 



ICO k, t uml M getvisse positive Constanten soivie R jene aus linearen Fak- 

 toren, (/cbildete ganze Funktion bedeutet, icelche bewirkt, dass sich das Pro- 

 dukt R F = G {2 , 2^ , . . . , Sj) in dem genaniiten Bereiche regulär verhält. 



Mit Benutzung dieser Ungleichheit eigiebt sich zunächst, dass die oben ^ 



luit Ä'l^'l^ ^ und Z|j"!_ ö bezeichneten Integrale eine Ungleichheit der Form 'f /^ 



k',..i<C.^''^'' + - + ^l^l, r{u + .)<., ,• ^^ 



befriedigen. Mit Hülfe von (62) schliesst man dann weiter, dass die Funk- 

 tionen f^ , /■ ebenfalls die Eigenschaft besitzen, nach Multiplikation mit 

 g- e, I z, ! f p ! •^p ! (Jem absoluten Betrage nach unter einer endlichen Grenze 



zu bleiben, wenn die Veränderlichen auf den Bereich (61) beschränkt sind. 

 Es ist indess nöthig, vorher zu zeigen, dass das zweite Glied der rechten 

 Seite von (62) diese Eigenschaft besitzt, was auf Grund des bekannten Satzes 



1 1^^ t dz I 



geschehen kann, wo M das Maximum von ^ G {u , 2^, . . . , Zp)\ auf dem Kreise 

 \u — 2\ — Q^ bezeichnet, dessen Radius bei dem Beweise hinreichend klein und 

 constant anzunehmen ist. 



Nachdem das Verhalten von f\ und /!, für grosse Werthe der Veränderlichen 

 ermittelt worden ist. ergiebt sich mit Hülfe von (58), wo die Integrale K 

 durch die entsprechenden Funktionen /' und die u wieder durch die linearen 

 Ausdrücke (57) zu erzetzen sind, dass jede durch das Integral (52) darge- 

 stellte Funktion F^{s^ , . . . , 2^) unter der obigen Voraussetzung (64) die fol- 

 gende Eigenschaft besitzt: 



Beschränkt man das Sgstem z^, . . . , z^ auf den Bereich 



unter q eine beliebig grosse positive Zahl verstanden, so bleibt 



(65) j 7^, (^,, . . .,z,) F,{z„. ..,z,) c-^''-^'' '"^'>' ' I < 3r{Q,s) , 



wo M eine Constante und R^ die aus linearen Faktoren gebildete ganze 

 Funktion bezeichnet, welche bewirkt, dass sich R^ F^ in dem genannten Be- 

 reiche überall regulär verhält. 



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