Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Fiinlctionen. 37 



auch 8 sei, bei wachsendem | (' | gegen die Null convergü-t ; während <1> eine 

 Funktion bezeichnet, welche für alle dem Bereiche (63) angehörigen Werth- 

 systeme ^ , ^^ , . . . , ^^ eine Ungleichheit der Form 



(67) |A'(.,,e.,...,^,)'^M^->.-',>--->-w.)'-~''""''"'' '"^'^'^\<M{Q,e) 



befriedigt, wo B hinsichtlich des genannten Bereiches die frühere Bedeutung 

 hat und die i beliebig kleine positive Zahlen bedeuten. 



Einen sehr allgemeinen Ausdruck dieser Art erhält man, wenn man '/> durch 



*/^ = F.(/,)F,(/J..-F„(/J 



1^=A^^>, + Arz, + --- + A^;'z,, v=l,2,...,n, 



definirt, unter F^, {^) eine Funktion verstanden, welche in jedem ziu' imaginären 

 Axe parallelen Streifen von endlicher Breite nur eine endliche Anzahl Pole 

 besitzt und, wenigstens nach Multiplikation mit r~ '" ' '^ ' , wie klein auch t sei, 

 bei wachsendem | v \ gegen die Null convergirt. 



Insbesondere . ist aber zu beachten, dass gerade unser Integral /^ (^, , . . . , z^,) 

 (52) nach dem vorigen Paragraphen in jedem der verschiedenen Continua, in 

 welche der Convergenzbcreich desselben zerfällt, einen Zweig einer Funktion 

 von p Veränderlichen mit der obigen Eigenschaft (67) definkt, falls der Inte- 

 grand F = f{£) <I> {z , z\ , . . . ,<^) ein Produkt zweier Funktionen der oben 

 angegebenen Art ist. Hieraus können wir nämlich den wichtigen Schluss 

 ziehen, dass sich diese Eigenschaft (67) erhält, wenn man das Integral mit 

 einer die Eigenschaft (66) besitzenden Funktion /' (.c-,) multiplicirt und sodann 

 mit z\ als Integrationsvariable längs einer unbegrenzten, der imaginären Axe 

 parallelen Geraden integirt. Durch Wiederholung dieses Verfahrens ergiebt 

 sich schliesslich ein vielfaches Integral, welches nur einen Parametei' Sp ent- 

 hält. Der Convergenzbcreich dieses Integi-als ist die ganze ^'^.-Ebene mit Aus- 

 schluss einer endlichen Anzahl unbegrenzter und zur imaginären Axe paralle- 

 ler Geraden. Der Convergenzbcreich des vielfachen Integrals zerfällt also in 

 eine endliche oder unendliche Anzahl zur imaginären Axe paralleler Streifen, 

 unter denen sich auch eine oder zwei Halbebenen linden können. In jedem 

 solchen Streifen stellt das Integral einen regulären Zweig einer eindeutigen in 

 der ganzen iyEbene existii'enden Funktion dar, welche sich an jeder endlichen 

 Stelle wir eine rationale Funktion verhält. Die Pole dieser Funktion erfüllen die 

 Bedingung, dass in jedem zur imaginären Axe parallelen Streifen von endhcher 

 Breite nur eine endliche Anzahl derselben sich tindet, und in jedem solchen 



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