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Streifen nähert sich die Funktion nach Multiplikation mit e~''^~j'''' , wie klein 

 auch i sei, bei wachsendem I 2^ \ der Grenze Null. 



Da alle diese Behauptungen nur- Specialisirungen der allgemeinen Ergeh- 

 nisse der vorangehenden Paragraphen sind, so sind sie keines weiteren Bewei- 

 ses bedürftig. 



Man findet nun sofort, dass das Integral (40), ivodurch in § 6 die 

 DiEiCHLETSc/ien Reihen der Form (39) dargestellt wurden, su den soeben be- 

 schriebenen Integralen gehört, wofern die Reihen (38) die in § 6 angegebenen 

 Eigenschaften von 'Ç (s , iv) besitseyi. 



Denn da die reellen Theile der Clrössen c^, = [ c^ | e* ^" der in § 6 ge- 

 machten Voraussetzung gemäss positiv sind, so erfüllen die e^ die Bedingung 



— -<0 < -> und weil das Verhalten der Gammafunktion für unendlich 

 2 ^ " ^ 2 



grosse, einem behebigen zur imaginären Axe parallelen Streifen von endlicher 

 Breite angehörige Werthe durch die Formel (33) charakterisirt wird, so be- 



sitzen die Ausdrücke -^y die analoge Eigenschaft (66), wo i> = 2 " I ''"l • 



Das Produkt F {s) S (s) besitzt also die in § 6 vorausgesetzten Eigen- 

 schaften der durch die Reihen S„ (s) definirten Funktionen. 



§ 11- 



Wir wollen besonders die sehr allgemeine Gattung DiRicHLETScher Reihen 

 der Form (39) ins Auge fassen, welche vermittelst der Transformationsformel 

 (40) auf die Funktion 'Ç {s , n-) zurückgeführt werden kann, d. h. die Gesammt- 



heit der Reihen 



00 



(68) S(..)= J \R{w. + r,,...,iv„ + vj]'' 



"i > ■ • ■ . ''„ = 



wo R eine beüebige ganze rationale Punktion oder noch allgemeiner ein 

 Polynom der Form (35) bedeutet und die Indices v unabhängig von einander 

 alle positiven ganzzahligen Werthe von der Null an durchlaufen. 



Es lässt sich zeigen, dass die sämmtlichen Pole der durch diese Reihe 

 definirten Funktion von s auf der reellen Axe liegen. Dies rühit davon her, 

 dass die Pole von i ' (s) und g" (s , >r) reelle Grössen sind. Diesen Polen ent- 

 sprechen bei den allgemeinen Erörterungen des § 8 die Grössen P^'. Sind 



T. XXIX, 



