Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funlitionen, 39 



nun diese Grössen sammt den Coefficienten A reelle Zahlen, so sind auch die 

 in den linearen Faktoren des Nenners von (59) vorkommenden Constanten (/ 

 reelle Zahlen. Durch Wiederholung dieser Schlussart geht die Richtigkeit der 

 Behauptung hervor. 



Hiermit hahen wir den folgenden allgemeinen Satz erhalten: 

 Ist R {u\ , . . . , w„) eine beJiebifje (jan^e rationale Funldion von h\ , . . . ,îv„ 

 oder allgemeiner ein Polynom der Form (35), deren Coefficienten die Bedin- 

 gimg erfüllen, dass die reellen Theile derselben positiv sind, in tvelcliem 

 Falle die Reihe (68) nach § 6 einen durch eine geivisse Halbebene darstell- 

 baren Convergembereich besitzt, so wird durch diese Reihe eine in der ganzen 

 s-Ebene existiremle eindeutige FunMion definirt, leelche sich an jeder end- 

 lichen Stelle wie ei^ie rationale FunMion verhält. Die Pole dieser Funktion 

 liegen alle auf der reellen Axe. BeschränM man die Veränderliche s auf 

 einen beliebigen, zur imaginären Aoce parallelen Streifen von eîuUicher 

 Breite, so nähert sich das Produkt 



r(..)S(.s), 



mit e"^'^' multijMcirt, bei waclisendem \s\ der Grenze Nidl, wie Mein auch 

 die positive Grösse f angenommen werden mag. 



Hierbei wurde zugleich der Einfachheit halber vorausgesetzt, dass die 

 Grössen w reelle positive Zahlen sind. 



Betrachtet man nun die Formel (8): 



(69) logni^:=i-lY^iv+l)f^^ + ^. J 3^S(.)f,/., 



H — 100 



WO jetzt 



-Ë+2y -•■■+(- 1). y 



(70) n(a;)=n(l + |) 



^i, „ = .0 



unter p das Genre von n verstanden, so findet man, dass der von x unabhän- 

 gige Faktor unter dem Integralzeichen auf die Form 



-^S(.)^- 



S (^1 



71 



= c -'"'/"(M,!;) {s = u + ir] 



derai't gebracht werden kann, dass f in jedem Streifen der soeben angegebe- 

 nen Art nach Multiplikation mit e~ ^ ' " ' bei wachsendem 1 v j gegen die Null 



convergirt. 



N:o 4. 



