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Wird also die Veränderliche x — \x\e^^ auf den Bereich — -g < ö < + 2 ■ 



d. h. auf die Ralbebene r (x) > beschränkt, so convergirt das auf der 

 rechten Seite von (69) vorkommende Integral nach dem am Anfange des § 1 

 Gesagten gleichmässig in jedem, endlichen Theile dieser Halbebene, gleich- 

 viel ob der Integrationsweg r (2) — z innerhalb oder ausserhalb des Conver- 

 gensbereiches twn S (^) gelegen ist. 



In der Formel (69) kann somit der Integratioyisweg unter Berücksichti- 

 gung des CA-VGUYScJien Satses beliebig weit in der negativen Richtung der 

 reellen Axe verschoben werden, wodurch sich eine nach absteigenden Potensen 

 von X fortschreitende asym.totische Entwicklimg von log 11 (.«) ergiebt. Das 

 Verhalten des Bestintegrals bei wachsendem \x\ kann auf Grund der 

 fundamentalen Ungleichheit (4) beurtheilt werden. 



Die STiRLiNGSclie Formel ist der einfachste specielle Fall unter den un- 

 zähligen auf diese Weise sich ergebenden Entwicklungen. 



Die Halhehene r (œ) > repräsentirt im allgemeinen nicht den wahren 

 Convergenzbereich des Integrals (69) sondern nur einen Theil desselben, wel- 

 cher leicht angegeben werden kann, falls der grösste Werth bekannt ist, der 

 sich unter den Grössen | d^ \ findet. Je kleiner dieser grösste Werth, um 

 so grösser ist der Convergenzbereich. 



Sind insbesondere die Coefficienten von R positive reelle Zahlen, so 

 convergirt das Integral (69) gleichmässig in jedem endlichen Theile der 

 x-Ebene, welcher keinen Punkt mit der negativen Hälfte der reellen Axe 

 gemeinsam hat, gleichviel ob der Integrationsweg ausserhalb oder innerhalb 

 des Convergenzbereiches von S {2) gelegen ist. 



Nach dem am Anfange des § 1 Dargelegten ist dieser Satz nachgewie- 

 sen, wenn wir zeigen können, dass das Produkt t " ^ ' ~ ' S (-?) oder, was infolge 

 (33) auf dasselbe hinauskommt, das Produkt r^£]s (<) in jedem zur imaginä- 

 ren Axe parallelen Streifen von endlicher Breite bei wachsendem | s \ sich der 

 Grenze Null nähert, wie klein auch ï, resp. wie gross auch m angenommen 

 wird. Um diese Eigenschaft ersichtlich zu machen, braucht man nur zu 

 schreiben 



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T. XXIX. 



