Eine Formel für den Logarithmus transcenclcnter Funktionen. 41 



und zu beachten, dass e~'l*l 7 ' (s) S, (x) nach dem schon Dargelegten die 

 fragliche Eigenschaft besitzt, wie klein auch e sei. 



Sind also die Coefficienten von R reelle positive Zahlen, so gelten die 

 oben erwähnten asymtotisehen Formeln für den Bereich 



der Veränderlichen x=\x\e^^ . (f- ^>- ßf' die game x-Ebene mit Aus- 

 schluss der negativen Hälfte der reellen Axe. 



Tax beachten ist hierbei, dass die Constante C in der fundamentalen Un- 

 gleichheit (4) abhängig ist von der Grösse t, welche mithin bei wachsendem 

 I X \ als eine zwar beliebig kleine aber constante Grösse aufzufassen ist. 



§ 12. 



Auf Grund der vorangehenden Ergebnisse erhält man noch obendrein 

 eine andere allgemeine Gattung asymtotischer Formeln für Eeihen und Pro- 

 dukte der nachfolgenden Art. 



Mit Hülfe der Formel 



e"~'' = 2^- r r{z)x-'dz, x>0,r(,?:)>0, 



K — i CO 



ergiebt sich 



00 



(71) 



^ ^-[-B(«'. + v,,...,n-„+rj]"'a- '' + '=^ 



/ , 7 ^ = o— ■ ^ (2) S ('"^ + S) X- " dz , 



»»i >••■,"„ = 



r (m X + ,s) > /; -)- 1 , r (x) > , 



WO s (s) durch (68) definirt ist. Sind die Coefficienten von R reell und posi- 

 tiv, so convergirt dieses Integral infolge (33) gleichmässig in jedem endlichen 

 Bereiche der Halbebene r (x) > o, und zwar gilt dies unabhängig davon, ob der 

 Integrationsweg innerhalb oder ausserhalb des Convergenzbereiches von S {<) ge- 

 legen ist. Der Integrationsweg kann also unter Berücksichtigung des ÜAucHYSchen 

 Satzes in der negativen Richtung der reellen Axe beliebig weit verschoben 

 werden, wobei sich eine nach wachsemlen Potenzen fortschreitende und für 

 Ideine Werthe von x brauchbare asymtotische Entwicklung der Reihe (71) 

 ergiebt. Das Verhalten des Restintegrals kann wieder auf Grund der funda- 

 mentalen Ungleichheit (4) beurtheilt werden. 



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