Eine Formel für den Logarithmus iranscenclcntcr Funktionen. 45 



Es ist min beiuerkenswevth, dass das letzte Integral schon in jedem end- 

 lichen Theile der Halbehene r (s) > — /^H- - > z + gleichmässig convergirt. 



Die rechte Seite liefert also, indem man k hinreichend gross annimmt, die 

 analytische Fortsetzung der linken Seite für einen beliebigen Theil der s-Ebene. 

 Es ergiebt sich zugleich, dass die sämmtlichen Pole von S (a) an den folgenden 

 Stellen gelegen sind: 



s=--\-^, s= p, s = ;.— >', v = 0, !,•••, CO, 



a ' ß a p 



und zwar sind dieselben alle einfache Pole mit den bezüglichen Residuen 



c = 



aßa"}/ 





a 



ua 



i-ay^Vß)^, . 



In den Fällen, wo « = ß, ist zu beachten, dass die Stellen s = " ~ '' = ^ ^ '' 

 fortwährend einfache Pole sind mit den Residuen Ä^ + B^. 



Für s = ist offenbar S (0) = S (0 ; u , v) = b (O , u) ^{O , v). Für negative 

 gaiizzahlige Werthe von s hat man 



Ä- 

 S (- Je) = S{—k;u,v)= ^ (J) a^'- "6''e(« y-ctk,u) ?(- ßr,v). 



v = 



Dieser Ausdruck, welcher die Differenzengleichung befriedigt 



J^J^S{-k;u, v) = [a u" + h v^t , 



ist für ganzzahlige Werthe von a , [i eine ganze rationale Funktion von u , v. 

 Indem wir jetzt die Formel (69) anzuwenden beabsichtigen, wollen wir 

 dabei annehmen, dass die Exponenten « , {i die Bedingungen « ;> 2 , |3 5^ 2 er- 

 füllen. Ist « = /5 = 2, so ist II {X) vom Geschlechte Eins, in den übrigen 



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