Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen. 47 



S (— r) , A^ B^, für r = 1 , 2 , 3 , . . . , qo . Das Restintegral besitzt alsdann die 

 sehr bemerkenswertlie Eigenschaft, dass es, mit einer beltebi;/ JioJu-n Potenz 

 von X muliijjUcirt, bei wachsendem | x \ sich der Grenze Null nähert. 



§ 14- 



Die Funktion 'Ç {s , ir) , welche bekanntlich eine hervorragende Rolle in 

 der analytischen Zahlentheorie spielt, hat diese Rolle auch in unseren Unter- 

 suchungen über DiRicHLETSche Reihen der Form (68) vollauf behauptet. Von 

 fundamentaler Wichtigkeit war dabei die Kenntniss des Verhaltens von ^ (s , ?t') 

 für unendlich grosse, einem beliebigen zur imaginären Axe parallelen Streifen 

 angehörige Werthe s. Es dürfte der Vollständigkeit halber nicht überflüssig 

 sein, auf diesen wichtigen Punkt näher einzugehen. Dabei setzen wir w als 

 eine positive, zunächst die Bedingung o < «• s 1 erfüllende Grösse voraus. 

 Alsdann gilt die Formel von Hurwitz: 



C{i-s, »•) = 2 (2^)-- ^- r (5) 2^ ~— 



v = l 



Während man aus der bekannten Reihenentwicklung von ^ {s , /r) unmittelbar 

 entnehmen kann, dass | ^ (*' , "") | in der Halbebene r (.s) > l -f- f , unter t eine be- 

 liebig kleine positive Zahl verstanden, nicht über eine gewisse endliche Grenze 

 wachsen kann, so ei'giebt sich aus dieser Formel mit Benutzung von (33) Fol- 

 gendes: Beschränkt man s auf einen beliebigen, der Halbebene r (s) < o an- 

 gehörenden, zur imaginären Axe parallelen Streifen von endlicher Breite, so 

 nähert sich ÎT (s , »") , wenigstens nach Multiplikation mit einer passenden Po- 

 tenz von s, bei wachsendem | s \ der Grenze Null. Mit Hülfe der Formel 

 2r(s , ?<;-f 1) = — «~* + ^(s , »•) findet man, dass dieses Resultat für alle posi- 

 tiven Werthe von ir seine Gültigkeit beibehält. 



Um auch einen Aufschluss darüber zu gewinnen, wie sich ^ (.y , w) in dem 

 Parallelstreifen o < r (s) < l bei wachsendem \ s \ verhält, betrachte man die in 

 der Halbebene r (s) > — i convergirende Reihe 



CD 



{s - i)^s , w) ^ w'-'+'^ w-'-\- '^Gis,tv + v) 



V = 

 m — 00 



= {w + m)' - ^' + * ~^ {w + «/)- ' + y '(s — 1) ("' + »')"'+ y G{s,w + v), 



J) = 

 N:o 4. 



