48 Hj. Mellin. 



WO 



G (s , IV) = {s-l) IV- •' + {w + 1)' - ■' + ^--- ' {w + 1) - ■' _ ,^' - ^ _ "^ i. 



Für w > 1 ergiebt sich 



^ •' iS-J \v Vr + 1 2/ 



Es ist also 



w = 2 '— 



G is , to) t < I . Ç^ - 1) nr-^\ 2 (IH + ^)(l^l + 3)---(l^l + '- + l) ,„- ,. 



v = 



und mithin 



(83) \^(s,w)\< 



(«y + m) ~\ 1, , ._, , V^ , ,_, 



— ^^Zl" + 2 ("•' + "') + 2i ^"^ + ") 



r = o 



I « I -4- 2 _^_ 



Nimmt man m hinreichend gross an, so wird log , , _ . beliebig klein. Es 

 ergiebt sich daher der Satz: Beschränkt man s auf den Parallelstreifen 

 <Ç r (s) <g 1 , so nähert sich e~ * ' ® ' g" (s , w) , unter e eine beliebig kleine positive 

 Zahl verstanden, bei wachsendem | s \ der Grenze Null. 



Bei unseren vorangehenden Untersuchungen haben wir nur die oben er- 

 mittelten Eigenschaften von £" (.s , ir) als bekannt vorausgesetzt. Es ist indess 

 möglich und für die asymtotische Zahlentheorie wichtig, das Verhalten von 

 ^ (s , w) in dem Streifen o < r (s) <Ç i bei wachsendem j s \ noch viel genauer 

 zu ermitteln als es oben geschah. 



Zu dem Ende nehme man in der obigen Ungleichheit m gleich der gröss- 

 ten in I s I enthaltenen ganzen Zahl an. Alsdann ist. 



lim ^l+J^] 



Setzt man s = u -^ iv und beachtet die Beziehungen 



T. XXIX. 



