16 Ernst Lindelöf. 



Wenn wir der Kürze halber die Grössen 

 (26) Ja,\/n, J a^n, ^«,l/|, Jh,\/^ (^^ = i, . ..| _ i) 



mit .r, , .T2 , • • • , .r„ bezeichnen und das Gebiet F durch die Ungleichungen u. < x. < ß., 

 (i= l,...,m), definiren, schreibt sich der obige Ausdruck einfach 



e dx, • • • -7= I e c^x , 



und wir können also folgendes Resultat aussprechen: 



Die n Grössen (26) sind hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit ihrer Werthe von ein- 

 ander unabhängig, und jede von ihnen kann als der bei einer Beobachtung mit der 

 Präcision k gemachte Fehler angesehen werden. 



7. Ehe wii- zu der Diskussion der Formel {A) übergehen, wollen wir auf die 

 classische Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate kurz zurückgreifen, um 

 die Analogie derselben mit der vorliegenden Untersuchung deutlich hervortreten zu 

 lassen. Wir nehmen an, dass in (19) alle diejenigen Constanten, deren Index grös- 

 ser als (M. ist, identisch verschwinden, und dass wir also im Voraus wissen, dass 

 die Gleichung der gegebenen periodischen Curve in der Form 



y = flg -j- «j cos <f -\- 1-«^ cos M ^ + ''1 sin ÇI + ■ • • + 'v sin fi <f 



geschrieben werden kann. Zur Bestimmung der m = 2 /* + 1 Constanten haben wir 

 dann die n Ow) Gleichungen 



(27) w. — — y.-\- «0 + «1 cos iz -\- \- a^ cos piz -\- bi sin iz -\- [-b^ sin fiiz - 0, 



die natürlich unter einander im Allgemeinen nicht verträglich sind. Nach der Me- 

 thode der kleinsten Quadrate sind nun (bei Annahme gleicher Präcision der einzelnen 



Messungen) die Constanten hieraus so zu bestimmen, dass die Summe \ v'. ein 



Minimum wird. Die Ausführung der Rechnung ergiebt für dieselben gerade die oben 

 bei der harmonischen Analyse gefundenen Werthe (17). 



Diese Werthe befriedigen die Gleichungen (27) nicht identisch, sondern es blei- 

 ben gewisse Fehler <îo, ^1, ••• , 'î„_i übrig, die wieder durch (18) gegeben sind und 

 deren Quadratsumme gleich (24) ist. Für die Beobachtungsfehler gelten die Gleichungen 



^ic = - Vu + «0 + -^ «0 + ^ (a,- + -' «■) cos kiz + 2] ('^- + -^ ^i) sin kiz, 



1 1 



T. XXIX. 



