18 Ernst Lindelöf. 



gesetzt ist. Mit Hülfe von (2S) und von den dera Gauss'schen Fehlergesetze leicht 

 zu entnehmenden Gleichungen 



W[J^] = Ss*, W[J a^] = 3W^ [J cc] , W[./ Ik] = 3 W [j &^] , 



findet man sofort 



welcher Werth sonst auch hätte der Gauss'schen Abhandlung direkt entnommen 

 werden können (man vergleiche die zwölfte Abteilang dieser Abhandlung). Der bei 

 dem Werthe (29) von t' zu befürchtende mittlere Fehler wird also 



n — m V n — m ' 



was uns zeigt, dass dieser Werth um so zuverlässiger ist, je grösser die Zaiil 

 n — m ist. 



In seinen Untersuchungen über die Methode der kleinsten Quadrate begnügt 

 sich Gauss, was die Prüfung der Zuverlässigkeit der Formel (29) anbetrifft, mit der 

 Ermittelung des dabei zu befürchtenden mittleren Fehlers. Es wäre natürlich wün- 

 schenswerth, die Wahrscheinlichkeit davon abschätzen zu können, dass der Fehler 

 dieser Formel zwischen gegebene Grenzen fällt. Während dies, solange es sich um 

 allgemeine hneare Gleichungen handelt, praktisch nicht möglich scheint, kann dage- 

 gen in dem speciellen Falle, der uns jetzt beschäftigt, die Berechnung der betreffenden 

 Wahrscheinlichkeit leicht ausgeführt werden. 



Wir wollen also die Wahrscheinlichkeit davon suchen, dass der Werth des 

 oben mit .'/ bezeichneten Ausdruckes zwischen die Grenzen J' und J" fällt. Wir 

 bemerken erst dass dieser Ausdruck vermöge der Gleichung (25), wenn wir die durch 

 (23) definirten Funktionen ./a^., J J\, auch für den Fall fc>/* benutzen, in der Form 



^ = I 2 ^ al + y (J (f. + J iry. - (n - m) t\ 



oder einfacher, wenn wir die {n — m) Grössen 



(31) -^«„lÄ, ^^«y|, -/^-l/'l (ï=^ + l,...,|-l) 



mit .i-,, x'o , ... , .c bezeichnen und n — m = p setzen, in der Form 



^ = x^ + 'V->^ h-^^-i'*', 



T. XXIX. 



