Ùher die Ermittehing der Genaniglceif der Beohachhmgen. 25 



woraus sich 



^' f S -'■■ -l{^^4 + t^<^ + ^ ^- )}] = (— -) *^ 

 ergiebt, wenn wir mit «^ das arithmetische Mittel der Grössen «^ bezeichnen und also 



s 



(41) ï^ = 



o + «ïH — h«;_i 



setzen. Die Anwendung des Gauss'schen Princips auf die Formel (A') führt uns 

 demnach genau auf die Ungleichung (36), wo «^ jetzt die obige Bedeutung hat, und 

 welche folglich in unserem Falle die gesuchte Abschätzung der mittleren Genauig- 

 keit der Beobachtungen liefert. 



Was die Zuverlässigkeit der für «^ ermittelten oberen Grenze betriftt, können 

 wir hier wieder zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Ungleichung (37) be- 

 steht, kleiner ist, wenn Z^ > , als wenn K"^ = 0. Da die in der vorigen Abteilung 

 mit a^i, -C2 , ••• , 3;,,_,„ bezeichneten Grössen unabhängige lineare Funktionen der 

 Beobachtungsfehler sind, ist nämlich, nach dem Resultat der dritten Abteilung, die 

 Wahrscheinlichkeit, dass der Punkt, dessen Coordinaten diese Grössen darstellen, 

 in ein gewisses Gebiet X des (n — TO)-dimensionalen Piaumes fällt, durch einen Aus- 

 druck der Form 



^ r -ii(:r, .•••,a; „,) 

 A e dxi dx^ ■ ■ ■ dx^^ , 



X 



gegeben, wo A eine Constante und ii eine positive défini te quadratische Form bezeich- 

 net. Die betreffende Wahrscheinlichkeit ist demnach durch diesen selben Ausdruck 

 definirt, wo im Falle Z^ > das Gebiet (38), im Falle K^ = das Gebiet (39) als Inte- 

 grationsgebiet X zu wählen ist. Es ist aber schon aus der Symmetrie ersichtlich, 

 und könnte sonst auch streng nachgewiesen werden, dass der betreffende Ausdruck 

 im ersten Falle kleiner ist als im zweiten, was die Richtigkeit der oben ausge- 

 sprochenen Behauptung erweist. 



Um die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung (37) im Falle Z^ — q zu beurtei- 



len, berechnen wir den mittleren Fehler — — , den man zu befürchten hat, wenn 

 ' n — m 



man ï^ gleich ^^ — setzt, woljei v durch die Gleichung 



^ n—m ^ ' ^ 



n — m 



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