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deflnirt ist. Die Ausrechnung ergiebt für if den etwas komplicirten Ausdruck 



'' i ; ; ^ i — 1 '^ 



2 ^ ß 



n 



der uns zeigt dass ij mit jeder der Grössen «o? *ij--- , «„_i zunimmt. Nun wissen 

 wir, dass dieser Ausdruck, wenn man sämmtlicJie s. einander gleicli (= s) setzt, sich 

 auf 2(w — m)£* reducirt, und können folglich, wenn s' den kleinsten und s" den 

 grössten der mittleren Fehler bezeichnen, schliessen, dass »/ die Ungleichung 



[/2 (n — m) «'2 < iy < \/2{n^^s"^ 



befriedigt. Wie nahe ^ dem Werth \/2 (n — m) s^ kommt («^ durch (41) deflnirt), lässt 

 sich nicht genau angeben. In der Regel wird wohl »/ grösser als dieser Werth aus- 

 fallen (dies gilt wenigstens, wenn m im Vergleich mit n klein ist), der Unterschied 

 »/ — \/2 (n — m) s2 wird aber um so kleiner sein, je grösser die Zahl n der Beobach- 

 tungen und je kleiner die Schwankung «" — «' der einzelnen mittleren Fehler ist. 



Wir sehen also, dass, auch wenn die Präcision der einzelnen Messungen nicht 

 mehr dieselbe ist, wenn nur ihre Schwankung nicht zu gross ist und wenn dazu 

 die Beobachtungen zahlreich sind, die Zuverlässigkeit des Resultates (40), wo «^ 

 jetzt die Bedeutung (41) hat, mit der Zuverlässigkeit der bei Anwendung der Me- 

 thode der kleinsten Quadrate geläufigen Formel (29) vergleichbar ist. 



11. Zum Schluss wollen wir hinsichtlich der Abschätzung der Genauigkeit 

 der Beobachtungen bei Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate eine Bemer- 

 kung machen, woraus sich eine direkte Verallgemeinerung eines Teils der verberge- 

 henden Untersuchung ergeben wird. 



Es mögen die Werthe von n Funktionen m « n) unbekannter Grössen durch 

 Beobachtung bestimmt uiid daraus, unter Zugrundelegung der als bekannt voraus- 

 gesetzten approximativen Werthe dieser Grössen, n hneare Gleichungen 



(42) ^, = <' + «r^;i + 4'''»'2 + --- + «;''-^',„ = (îz-_l,...,n) 



abgeleitet werden, wobei x^ , X2,--- , fl;„, die zu ermittelnden Correctionen der ange- 

 setzten Werthe bezeichnen. Wir wollen annehmen, dass diese Gleichungen im 

 Voraus mit constanten Faktoren ^-j , ^2 1 ■ • • , ^„ multiplicirt worden sind, die der 

 Präcision der betreffenden Beobachtungen proportional sind. Wenn wir die Grössen 

 Xi, X2, ■■■ , .•?-„, ihren wahren Werthen gleich setzen, gehen dann die Ausdrücke v^ , 

 v^,...,v^ in .-/1, z/2, •■•,-^„ über, wo diese letzten Grössen die Produkte der wirk- 



T. XXIX. 



