[l)cr die Ermittelung der Genauigkeit der Beobachtungen. 27 



liehen Beobachtungsfehler mit den Constanten ^"i, ^'2, ■•■ , ^„ bedeuten und folghch 

 selbst als direkte Beobachtungsfehler angesehen werden dürfen, die Ijei Beobach- 

 tungen mit derselben Präcision stattgefunden hätten. 



Bei der letzten Diskussion haben wir jedoch stillschweigend vorausgesetzt, 

 dass die Gleichungen (42) exad sind, d. h. dass sie das Resultat der Beobachtungen 

 genau wiedergeben. Diese Voraussetzung ist aber nur in denjenigen speciellen 

 Fällen streng erfüllt, wo die Funktionen, deren Werthe beobachtet worden sind, 

 in Bezug auf die unbekannten Grössen linear sind. Wenn dies nicht stattfindet, 

 oder wenn die betreffenden Funktionen ihrer Form nach nicht völlig bekannt sind, 

 wie in dem oben behandelten Probleme, sind die aus den Beobachtungen sich erge- 

 benden strengen Gleichungen von der Form 



Vi + <fi (a-'i, ^2 , • • • , ^„.) = 0, (i = l, . . . , w) , 



und wenn wir mit tp. den Werth bezeichnen, welche die Funktion y^ für die wahren 

 Werthe von ^-j, x^, , • • • , »;„, anninmit, geht folglich v. für diese selben Werthe nicht in 

 ^, sondern in J. — cp. über. Mit den Funktionen y. denken wir uns sonst auch bei 

 den betreffenden Beobachtungen etwa vorhandene, nicht corrigirte constante Fehler 

 vereinigt. 



Wir nehmen vorläufig an, dass die Funktionen cp identisch Null sind und dass 

 wir es folglich mit den Gleichungen (42) zu thun haben. Nach der Methode der 

 kleinsten Quadrate sind aus diesen die Unbekannten so zu bestimmen, dass die 



n 



Summe ^ = / '^? ein Minimum wird, welche Bedingung uns die Gleichungen 



(43) |^^,^_. = «'/)^,_+«f'i,^, + ... + a('%^^ = (i = l,...,m) 



liefert. Die hieraus für x^, X2, ■■ ■ ,x^^ sich ergebenden Werthe, die wir mit icj, 

 Xg,...,^:^ bezeichnen wollen, befriedigen die Gleichungen (42) nicht streng, sondern 

 lassen die Fehler 



(44) d. = «;;' + «r^-" + --- + «™4 {i=l,...,n) 

 übrig. 



Aus diesen übrig bleibenden Fehlern lässt sich nun bekanntlich die Genauig- 

 keit der Beobachtungen beurteilen. Wir erlauben uns die betreffenden Resultate 

 in einer sehr einfachen und übersichtlichen Weise hier abzuleiten. 



12. Da die Determinante des linearen Systems (43) in den Unbekannten .Xi, 

 ^2, ■ ■ • I x,„ in Bezug auf die Hauptdiagonale offenbar symmetrisch ist, ergeben sich 

 bei der Auflösung desselben Identitäten der Form 

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