58 Hj. Tallqvist. 



und wenn zur Abkürzung 



(233) 



j R{u) = fv- + f,u + f., 



gesetzt wird, findet man aus der Differentialgleichung 



(234) I {R{n) + Q{u)t}Ve" du=^0. 

 Wählt man noch U so, dass 



und folglich 



Q (m) 

 ist, so geht die Gleichung (234) über in 



(235) [£{UQiu)e'")du = 0. 



Lösungen dieser Gleichung ergeben sich, wenn der Integrationsweg entweder eine 

 geschlossene Curve ist, längs welcher nach einem Umlauf von einem l)estimmten 

 Punkte ausgehend die Grösse UQ{u)e ihren Anfangswert wieder annimmt oder 

 wenn der Integrationsweg so gewählt werden kann, dass UQ{u)e in dessen beiden 

 Endpunkten den Wert Null hat. Die Lösung ist 



(236) a,= f ,Jr- e-J ^'i ' " e'" du . 



in) 



"=1.01^ 



In der Tat lässt sich zeigen, dass man wenigstens zwei Integrationswege wählen 

 kann, welche von einander unabhängige Integrale von der Form (236) liefern, und 

 zusammen das allgemeine Integral der Differentialgleichung (281) darstellen. Eine 

 Hauptrolle spielen hierbei ausser dem unendlich fernen Punkte der «-Ebene die 

 Wurzeln des Polynômes Q{u). Weil in unserem Falle g'2 = ist, ist die eine die- 

 ser Wurzeln gleich Null und die andere also — ^ . Auch diese zweite Wurzel ist 

 gleich Null bei den Gleichungen (218), welche Q{u) = hu'^ liefern. Bei den Gleichungen 

 (212) ist Q{u) = yU, also ersten Grades, und schhesslich bei den Gleichungen (224) 



w w 



Q (u) = hu^ -\- j^ ht< , also die zweite Wurzel — -^ . 



37. Zuletzt stellen wir einige Reihenentwickelungen auf, durch welche die 

 im Art. 35 enthaltenen Differentialgleichungen l)efriedigt werden, unter der Annahme 



Tom XXXI V. 



