Q<i l'on veut, dans le problème des trois corps, se servir tles méthodes modernes des équa- 

 ^^ tiens différentielles, on est aussitôt conduit à rechercher comment se comportent les 

 variables (les coordonnées des trois corps) des équations diöérentielles du mouvement au voi- 

 sinage des valeurs critiques de la variable indépendante (le temps t) où elles cessent d'être 

 régulières. En raison de l'importance qu'elles ont aussi pour d'autres questions relatives au 

 problème des trois corps, on est avant tout amené à étudier les valeurs critiques qui sont 

 réelles et finies. 



M. Painlevé ' a démontré que le mouvetnent des trois corps se poursuit régulièrement 

 quand t croît, à moins que, t tendant vers un certain instant t, , deux des corps ou tous les trois 

 corps ne viennent se choquer en un point déterminé de l'espace; nous voyons par suite qu'il est 

 nécessaire d'étudier le mouvement au voisinage d'un choc, et qu'il faut trouver les conditions 

 que doivent remphr les circonstances initiales pour qu'un choc ait ou bien n'ait pas lieu au 

 bout d'un temps fini. Dans l'hypothèse où deux seulement des corps se choquent pour 

 ^ = <i, M. Levi-Civita^ a étudié ces questions pour le cas du „problème restreint" et M. 

 BiscoNciNi^ pour le cas général. 



Quant au cas où les trois corps se choquent tous en un même point au moment t^, 

 il n'a encore, autant que je sache, fait l'objet d'aucune publication. En étudiant ce cas et en 

 cherchant des formules explicites pour les coordonnées au voisinage de ^,, j'ai trouvé qu'il était 

 nécessaire d'établir quelques propositions préliminaires et d'un caractère pour ainsi dire qua- 

 litatif. Le présent travail contient mes recherches à cet égard dont j'indiquerai ici briève- 

 ment les principaux résultats. 



On trouve en première ligne une condition très simple pour que les corps puissent 

 se choquer tous les trois en un même point de l'espace, à savoir que les constantes des 



' P. Painlevé, Leçons etc., professées à Stockholm, Paris 1897, page 585. 



- T. Levi-Civita, Traiettorie singolari ed iirti nel probhma risiretto dei tre corpi, Annali di Matema- 

 TICA, Ser. 111, T. 9, 1903. 



' G. BiscoNCiNi, Sur le problème des trois corps. Acta mathematica, T. 30. 



