Recherches sur le problème des trois corps. 



et, en élevant au carré, 



j^2(dRY^frl >j^ rAn/dr^Y ± ^/ dr, _ ^ dr^V 



\ dt ) Vw-o m, mj/lwo'.rf^j m^ydt) m^y dt ) WoWj \ " dt ^ dt ) 



1_ / dr^ _ . dr^ 1_ / dr^_, ^Y 



m^m^X ^ dt ^ dt ) m^ni^y ^ dt " dt ) ' 



d'où il suit 



y""] (d>;Y^(äBY 1 ( dr,_ dr^y 1 / dr^ _ dr^V 



ljm.[dtj [dt] "^mom,i?4'" dt *"' df ) '^ m^m, B^[''' dt '"' dt 



{ = 



dr^V 



J f dr^_ dr^Y 



m,R^ i''^ ~dt *"" 'dtj 



m^nif, 

 Portons dans (17) les valeurs (38) de ur, il vient 



Z^ m.\dt ) i-i mr^ ' 



et, en rapprochant cette égalité de celle qu'on vient d'écrire, on trouve enfin cette nouvelle 

 forme de l'équation des forces vives: 



(40) 

 où 



y^'-) * „„ -Da I ,™ Tto I -DO I / . 2 • 



f 



En ayant égard à (39), on voit que P est une somme de douze carrés et par suite 

 une quantité positive ou nulle. Le premier membre de l'équation des forces vives est par 

 conséquent mis sous la forme d'une somme de treize carrés. Dans la suite, nous nous ser- 

 virons de l'équation (40) sous la forme 



(42) [^)\k=2U-P. 



En éliminant encore U entre les équations (35) et (40), on trouve 



(43) 2^^+(fr+^=^- 



Les équations (42) et (43), que nous n'avons pas rencontrées ailleurs, jouent un 

 rôle très important dans tout ce travail. 



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