Karl F. Sundman. 



II 



Détermination des diflPérents cas qui peuvent se présenter, lorsque le 

 mouvement cesse d'être régulier. 



5. Supposons maintenant que le mouvement des trois corps cesse d'être régulier à 

 un certain intant 1 = 1^. 



Soit r,n {t) la plus petite des distances n à l'instant t. On a alors ce théorème connu : ' 



Si le mouvement est régulier pour t <^t^ mais point au delà, r,„ (t) tend vers zéro quand 

 t tend vers ty. 



En vertu de ce théorème, on peut conclure de l'expression (21) de U que 



lim ü= + 00 , 

 et il existe par conséquent une quantité ô^ telle que 



pour chaque valeur de t comprise entre t^ — ö'o et <, . L'équation (34) nous montre dès lors 



que la dérivée ^rr = 2-ß-ir va constamment en croissant lorsque t croît de ^, — do à ^i, et 

 ^ dt at 



on pourra par suite trouver une quantité ô^ < ôg telle que 2R -rr conserve le même signe et 



ne s'annule pas dans l'intervalle de t^ — d^ à t^. Comme la quantité B est positive pour t<Cti, 



on en conclut que la dérivée —^ conserve aussi un signe invariable dans le même intervalle. 



Donc la quantité R tendra vers une limite déterminée lorsque t tend vers ^i, et nous 



aurons ainsi à considérer deux cas, suivant que cette limite de R est égale à ou plus grande 



que zéro. 



6. Supposons d'abord 



limi2=0. 



( = (, 



D'après la définition de -K, on aura alors 



limr. = (î = 0,1,2), 



ce qui veut dire que les trois corps se choquent à l'instant t^ en un même point de l'espace. 

 Nous avons vu au numéro précédent que -^ ne change pas de signe entre ty — ô^ et 



ti. Comme la quantité positive R ne peut s'annuler pour t=^ti sans que la dérivée -jt prenne 



' Voyez p. ex. Painlevé, loc. cit. p. 583. 



Tom. XXXIV. 



