Recherches sur le problème des trois corps. 9 



des valeurs négatives entre 1^ — 0' et <, , quelque petit que soit ô' , il faut donc qu'on ait 

 dans le cas ici considéré, 



^<0 pour t,-å,<:t<t,. 



Étudions maintenant le cas où 



lim -B>U. 

 < = «, 



On pourra alors trouver deux constantes positives l et ô^ telles que l'inégalité 



(44) R > l 



ait lieu dans l'intervalle de t^ — ô^ à t^. Comme d'autre part 



lim r =0, 



« = (, 



on pourra encore choisir ô^ assez petit pour que l'on ait r„, < s dans ledit intervalle, le 

 nombre « étant pris aussi petit qu'on le voudra. 



Nous avons désigné par r,,, la plus petite des distances r,. Cependant on démontre 

 aisément que r,„ désigne dans l'intervalle de t^ — 0^ à t^ une seule et même distance, si l'on 

 a pris s suffisamment petit. 



En effet, s'il n'était pas ainsi, il se trouverait un instant t' {t^ — ô^<^t' <^ ij, tel que 

 r„, désignerait une certaine distance avant et une autre après cet instant. Pour t = t' ces 

 deux distances seraient égales entre elles et par suite chacune < «. La troisième distance, 

 étant au plus égale à la somme des deux autres, serait par suite <2«. 



Les trois distances r,- étant ainsi <2« pour t = t\ on aurait d'après (33), 



\mo w, 1)12) 



ce qui est visiblement en contradiction avec l'inégalité (44), si « est pris suffisamment petit. 



C'est par suite une seule et même distance qui tend vers zéro, lorsque t tend vers 

 ^1 et, en vertu de la définition (33) de R et de l'inégalité (44), on trouve immédiatement 

 que les deux autres distances tendent aussi vers une même limite positive. 



En somme nous voyons donc que, lorsque le mouvement cesse d'être régulier, ou les 

 trois corps se choquent tous en un même point de l'espace, ou bien deux corps se choquent 

 tandis que leurs distances au troisième tendent vers une limite plus grande que zéro. 



Cette proposition est comprise dans un théorème démontré par M. Painlevé {Leçons 

 de Stockholm, page 586). J'ai pourtant voulu la démontrer ici parce que, comme on l'a vu, elle 

 résulte à peu près immédiatement de la conservation du signe de la dérivée ~jt , circonstance 

 dont nous aurons à nous servir dans la suite. 



Nous allons maintenant étudier séparément les deux cas dont nous venons de parler. 



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