Recherches sur le problème des trois corps. 13 



Sans cela, en effet, on aurait constamment 2EU> A-^ e^ quand E passe de R2 à 

 zéro, et l'équation (55) donnerait, pour B^B^, 



A+Ç PdB > ^ f {A^i^)dB = A + . 



ou 



PdB^t.,, 



J 



ce qui n'est pas vrai, si B est suffisamment petit. 



Ces propriétés de la fonction 2BU donnent lieu de présumer que 2BU tend vers une 

 limite quand B tend vers zéro, et que 



(59) l[m2BU=A. 



Nous démontrerons qu'il en est ainsi en faisant voir que, si cette égalité n'était pas 

 vraie, on serait conduit à une contradiction. 



10. Supposons donc que l'égalité (59) ne subsiste pas. 



En ayant égard aux propriétés de 2BÜ que nous venons d'établir, on pourra alors 

 trouver une constante >'>0 telle que la fonction continue 2BU passe une infinité de fois de 

 A + Y à A + 2y, et inversement, pendant que -ß diminue de A3 « Äo) à zéro, et cela quelque 

 petit que soit B^. 



Soient 2BU=A + y pour B = B'(B'^B,), 2Bü = A + 2y pour B = B"{B"âB,), et 

 désignons par U", u", r,", les valeurs de U, Ui, ri, .... pour B = B", de sorte que 



(60) 2B'U' = A + Y, 



(61) 2B"U" = A + 2y. 



Il est évidemment possible de choisir les valeurs B' et B" de telle manière que 



(62) B'>B", 



(63) A + y<2BU<A + 2y (B'yB^R"). 

 On aura alors 



(64) Ü">Ü>U' {B'>B>R"). 



Cela posé, reprenons l'égalité (55), en l'écrivant sous la forme 



f PdB = ^,\ {2BU-A}dB. 

 J R -J 



En vertu de (58), on en conclut 



j: 



F dB ^ ijÇ {2BÜ-A)dB. 



■ti J B'' 



N:o 6. 



