16 Karl F. Sundman. 



et l'inégalité (65) entraîne donc la suivante 



Comme C et y sont des constantes plus grandes que zéro et ne dépendent pas de R' , 

 tandis que l'intégrale tend vers zéro avec B', ce résultat est faux. Notre supposition que 

 l'égalité (59) ne serait pas vraie nous a ainsi conduit à une contradiction, et l'égalité en ques- 

 tion est donc démontrée. 



12. Dans la suite de ce chapitre nous désignerons par s toute fonction tendant vers 

 zéro en même temps que R . Il s'ensuit que, en général, la lettre s ne désigne pas la même 

 quantité dans les différentes formules où elle figure. Même dans une seule et même formule, 

 s pourra désigner des quantités différentes. 



Avec cette notation l'équation (59) peut s'écrire 



(69) 2i?C/ = 2Mf— f^- + -^U^ + ^ 



et, en remontant à l'équation (52), nous pouvons donc en tirer cette conclusion importante: 



(70) •* PR = f, 



qui nous montre que chacun des douze carrés dont se compose P est de la forme -^ ■ 

 Or les équations (33) et (69) nous donnent les inégalités 



(7.) 4^+7^<i<y'. ■ c-".'-^'. 



V . 7* 'J* v et 



qui font voir que les rapports ^ , et par suite aussi les rapports -r , ;r- , — et leurs récipro- 



-ft/ '0 '0 '^1 



ques, varient entre des limites finies et plus grandes que zéro. En tenant compte de (41) et 

 (39), on peut donc tirer de l'égalité (70) les conclusions suivantes: 



dr., dr, ,/„ 



(73) '-'^-'^^-'^^^ 



dfn drn , /^f5 



dl/. dx. ,— 



(75) xj^ = x ^-y^^^eVR (^ = 0,1, 2), 



Tom. XXXIV. 



