32 Karl F. Sundman. 



Multiplions cette égalité par -^ dt et intégrons entre les limites t et f; on aura, avec la 

 notation adoptée ci-dessus, 



OU encore, si l'on suppose que la dérivée -^ ne change pas de signe dans l'intervalle de t ht', 



H'-H=Ç FdR, 



d'où résulte immédiatement notre lemme. 



23. Fixons un instant f où toutes les distances r,- sont finies et plus grandes que 

 zéro, de sorte que le mouvement est régulier au voisinage de t=f. Il résulte alors des équa- 



dJ?' 



tions (33), (21) et (40) que B' et -jr sont finis et que de plus i2'>0. D'après la définition 

 (122), on en conclut que E prend aussi une valeur finie H' pour t = f. 



Si R' n'est pas un minimum de E, on trouvera certainement, avant ou après t', un 

 instant t tel que la dérivée -n conserve le même signe et que -R est inférieur à E' dans 

 l'intervalle de f à t. D'après le lemme du numéro précédent, on aura alors dans le même 

 intervalle 



E^H' 

 ou 



d'où il suit 



^(fJ+^^+S^-^'' 



Q^E'-KEûE' + \K\E', 



OU bien 



(125) -B^ 



E'^\K\B' • 



Cette inégalité reste valable lorsque \t — t'\ croît, jusqu'à ce que -^ change de signe. 

 Supposons que ceci ait lieu pour t = t". E est alors minimum pour t = f' et croîtra si |î; — f | 

 continue à croître. L'inégahté (125) sera par suite vraie aussi pour \t—t'\'>\t — 1f'\, tant 

 que B croît avec | ^ — ^ | , c'est à dire jusqu'au moment où E passe par un maximum. Comme 

 on a, d'après la définition même de E' , 



B'^ ^ 



E' + \K\B" 



Tom. XXXIV. 



