über von Geraden und Ebenen hcgrenztcn Miniinaldoppelfiächen. 5 



die Begrenzung der Ecke von zwei ungleicliartigen Elementen gebildet wird. Die unter dem 

 Falle 3:0 genannten unendlichen Sektoren haben negative Ordnungszahlen. 



Aus den in obiger Übersicht gegebenen Ausdrücken des Eckenwinkels i.ij.x geht her- 

 vor, dass X,, gleich —in,,-{-\a^\ ist. Bei Einführung des vorher als Projektion der Ecke auf die 

 xy-Ehene dettnierten Winkels ^v^^r ergibt sich hieraus die Formel 



(1) «^ = yTO,, + ^,,. 



2. Über Rückkehrpunkte und andere singulare Punkte der Fläche. 



Bei der Untersuchung der einfachsten von allen algebraischen Mininialdoppelflächen 

 d. h. der sogenannten Henneberg'schen Fläche, welche bekanntlich der fünften Klasse gehört, 

 fand ich auf der Fläche zwei Punkte, die eine Singularität von folgender Beschaffenheit auf- 

 weisen. Durch den singulären Punkt gehen eine ebene Krümmungskurve, welche daselbst 

 eine Spitze bildet, und eine gerade Asymptotenlinie, die im Punkte plötzlich endet, um längs 

 sich selbst zurückzukehren (Fig. 1). Der Punkt ist auch 

 in demjenigen Sinne singulär, wie man es bei Minimal- 

 flächen gewöhnlich in Betracht zieht, dass durch densel- 

 ben ausser den oben genannten Krümmungs- und Asymp- 

 totenlinien noch zwei Krümmungs- und zwei Asympto- 

 tenlinien gehen. 



Der singulare Punkt mag als ein Randpunkt be- 

 trachtet werden. Durch symmetrische Wiederholung des '^' 

 angrenzenden Flachenstückes erhält man dann unmittel- 

 bar den Charakter eines derartigen inneren singulären Punktes. Einem halben Umlaufe um 



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 den zugehörigen Punkt der ^Ebene entsprechen ein ganzer Umlauf auf der Fläche und j Um- 

 lauf in der ff-Ebene, während der entsprechende Punkt in der s-Ebene regulär ist. Einen 

 Punkt der besagten Beschaffenheit will ich einen BücMehrpunJct auf der Fläche nennen, 

 obwohl die Krümmungslinie, wenn man eine Singularität höherer Ordnung voraussetzt, nicht 

 immer eine Spitze aufweist. Um in der Tat den Charakter des Rückkehrpunktes näher zu 

 untersuchen, denken wir uns den Anfangspunkt des Koordinatensystems im betreffenden Punkte 

 gewählt und die positive Richtung der ^-Achse mit der negativen Richtung der Flächennor- 

 malen übereinstimmend. Weiter lassen wir die betreffende Krümmungskurve der reellen Achse 

 sowohl in der i-Ebene als auch in der s-Ebene entsprechen und wählen als Anfangspunkt der 

 ^Ebene denjenigen Punkt, der dem Rückkehrpunkte der Fläche entspricht. Dann gelten für 

 s und ff folgende Entwickelungen: 



s = ct[l+f%{t)l 

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