fß)er von Oermlen und Ebenen begrenzten Minimaldoppelflächen. 11 



erfüllt sein. Diese Bedingung drückt aus, dass die beiden durch einen Punkt der Fläche ge- 

 henden Minimalkurven mit einander zusammenfallen. ' 



Wenn man eine Minimaltläche in bekannter Weise so biegt, dass sie fortwährend eine 

 Minimalfläche bleibt, so multipliziert sich die Funktion ^y (s) mit einem Faktor von der Form e'" 

 und also g, mit e-'". Man ersieht hierbei aus der Bedingung (13), dass eine Doppelfläche bei 

 einer derartigen Biegung ihre Eigenschaft verliert eine Doppelfläche zu sein. Speziell ist also 

 die Bonnet'sche Biegungsfläche einer Doppelfläche immer einfach. 



Wenn die Funktion J^ (s) so beschaffen ist, dass einer stetigen Folge von reellen Argu- 

 mentenwerten eine stetige Folge von reellen Funktionenwerten entspricht, so kann die Bedin- 

 gung einer Doppelfläche geschrieben werden 



(13, a) g(,) = -i^g.^-ij. 



Wenn dagegen einer stetigen Folge von reellen Argumentenwerten eine stetige Folge 

 von lein imaginären Funktionenwerten entspricht, so geht die Bedingung über in 



(13, b) 5(.s-) = ^3-(-M. 



4. Doppelflächen mit zwei Begrenzungselementen 



Die Formel (7) s. 8 zeigt unmittelbar, dass die oben gemachten Voraussetzungen erfül- 

 lende Flächen mit einem Begrenzungselement nicht existieren. Um solche Flächen zu erhalten 

 muss man die Existenz von Randpunkten oder iimeren Punkten mit auf der xy-Ebene senk- 

 recht stehender Normale annehmen. Wenn man dies tut, findet man jedoch, dass für jede 

 auf einer so erhaltenen Fläche liegende Minimalkurve sämmtliche unendlich entfernten Punkte 

 zusammenfallen. Folglich kann die Miniraalkurve nicht mit ihrer konjugierten Kurve zusam- 

 menfallen, d. h. die Fläche ist immer einfach. Wir gehen daher sofort zu Flächen mit zwei 

 Begrenzungselementen über. 



Die Formeln (2) und (10) (ss. 7 und 9 ) geben 



(14) © = Z = — m, — »»2 . 



' Für eine transcendente Fläche ist diese Bedingung allerdings nicht notwendig. Es reicht aus, 

 dass die beiden Minimalkurven durch eine Translation zum Ziisamraenfallen gebracht werden können. Weil 

 wir im Folgenden vor allem algebraische Doppelflächen aufsuchen, nehmen wir jedoch die obenerwähnte 

 Bedingung als erfüllt an. 



N:o 8. 



