H G. Tegenuren. 



Die eiöte dieser Bedingungen kann nur erfüllt sein, wenn q gleich 1 und l eine gerade Zahl 

 ist, oder wenn q gleich 2 und l (welche Zahl dann gleich p ist) eine ungerade Zahl ist. Soll 

 die Fläche dann algebraisch sein, so niuss 



2 2 



bez. 



2 2 



sein. Wenn ^' gleich 1 ist, so ist die Fläche immer transcendent. 



Die zweite Bedingung erfordert, damit die Fläche algebraisch sei, dass 



Sj_{d) = 



2 



ist. Für reelle Werte von C war diese Bedingung, wie wir gesehen, schon erforderlich, damit 

 die Fläche eine Doppelfläche sein sollte. 



5. Bestimmung der Ordnungs- und Klassenzahlen der von zwei Elementen 

 begrenzten algebraischen Doppelfläehen, Endgültige Formen der 



Punktion S'(*). 



Die Klassen- und Ordnungszahlen der algebraischen Flächen können leicht mit Hülfe 

 von Lie's Methode ^ bestimmt werden. Wenn die Ordnung einer auf der Fläche liegenden Mini- 

 malkurve ist, und die Anzahl der Punkte, in welchen diese Kurve den unendlich entfernten 

 imaginären Kreis schneidet, mit « bezeichnet wird, so ist die Ordnung der Doppelfläche 



0' = 1(02-«). 



Um die Klasse der Fläche zu bestimmen, sucht man den Rang der Minimalkurve d. h. 

 die Anzahl der Punkte, in welchen die von den Tangenten der Kurve erzeugte abwickelbare 

 Fläche von einer Geraden geschnitten wird. Ist der Rang der Minimalkurve B, so ist die 

 Klasse der Doppelfläche 



C' = M(B-M), 



wo M angiebt, wie viele Male der imaginäre Kugelkreis der oben genannten abwickelbaren 

 Fläche zugehört. 



Wir lassen die Konstante C reell sein und wählen der Einfachkeit halber (7=2. Die 

 Ergebnisse gelten dann unmittelbar auch für rein imaginäre Werte von C. 



' Siehe „Archiv for Mathematik og Naturvidenskab" Bd. II ss. 157 — 198, 1877 oder „Mathematische 

 Annalen" Bd. XIV ss. 331 -416, 1879. Diese Methode findet man auch bei G. Darboux in „Leçons sur la 

 théorie générale des surfaces" I ss. 365 375 dargestellt. 



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